Matematica

Università degli Studi di Pisa
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Informazione importanti

  • Laurea
  • Pisa
Descrizione

La matematica pervade ormai quasi tutti i settori dell’attività umana, e la sua utilità è destinata, con ogni probabilità, a crescere ancora. Quasi ogni tecnologia avanzata si fonda oggi su conoscenze matematiche molto profonde e raffinate – anche se nascoste agli occhi dell’utente. La matematica non si occupa solo di ciò che potrebbe avere ricadute sulle altre scienze o sulla tecnologia, anzi: essa consiste principalmente nello studio delle relazioni fra gli oggetti e la forma di queste relazioni, ed è irrilevante che gli elementi di tali reazioni siano particelle elementari, integrali tripli, spezzoni di DNA, strutture dati o cavalleggeri prussiani. Scopo del matematico è studiare, capire, descrivere e ammirare queste relazioni. Nel Corso di Laurea sono presentate le idee e le tecniche della matematica attuale. Le frontiere della ricerca contemporanea possono essere raggiunte proseguendo gli studi nella Laurea specialistica e nel Dottorato in Matematica; ma già questa prima esposizione dà l’idea della vastità della matematica e delle sue applicazioni, e fornisce strumenti sufficienti per rispondere alla maggior parte delle necessità del mondo del lavoro. Il Corso è articolato in due curricula:
Curriculum Computazionale, che fornisce strumenti matematici rigorosi per affrontare l’era dell’informatica;
Curriculum Fondamentale, che approfondisce la matematica pura e il suo utilizzo nelle scienze.

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Pisa
Lungarno Antonio Pacinotti, 43 , 56122, Pisa, Italia
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Programma

  • Fondamentale
  • Computazionale
Fondamentale
  • Fondamenti di programmazione con laboratorio (9 cfu)

    • Programmazione: introduzione al linguaggio C. Cenni di teoria degli automi e dei linguaggi. Laboratorio: Uso del linguaggio C. Sperimentazione dei concetti introdotti nel corso.
  • Geometria 1 (15 cfu)

    • Sistemi lineari; struttura lineare di R^n; spazi vettoriali, sottospazi e applicazioni lineari; determinanti; geometria analitica: mutue posizioni di rette e piani nello spazio; diagonalizzazione, triangolarizzazione di matrici e applicazioni lineari; teorema di Jordan; forme bilineari e teorema di Sylvester; teorema spettrale; classificazione delle forme quadratiche.
  • Laboratorio di comunicazione mediante calcolatore (3 cfu)

    • Cenni sull’hardware: clock, CPU, RAM, I/O. Linux: il kernel, utenti e diritti, l’albero dei file, i filesystem, i processi. Comandi principali. La bash e le consolle virtuali. Interconnessione di calcolatori in rete. Filosofia Client Server. X11, i name server, telnet, ftp, secure shell, finger, talk, lpr. E-mail. WWW. Scrittura di testi matematici in TEX. Scrittura di pagine Web in html.
  • Fisica I con laboratorio (9 cfu)

    • Lezioni: Cinematica, dinamica, moto circolare, sistemi di riferimento, energia, potenziale,attrito, oscillatore armonico, urti, leggi di Keplero, rotazioni, momento d'inerzia, dinamica rotazionale.
      Laboratorio: misure, errori e loro propagazione, regressione lineare statistica, chi quadro; laboratorio didattico con raccolta e analisi dei dati di alcune semplici esperienze di meccanica.
  • Analisi matematica 1 (15 cfu)

    • Funzioni elementari (potenze, esponenziali, logaritmi, eccetera). Connettivi e quantificatori logici. Teoria elementare degli insiemi. Numeri reali e complessi. Estremo superiore e inferiore. Limiti di successioni. Completezza e compattezza. Limiti di funzioni e funzioni continue. Teorema degli zeri e teorema di Weierstrass. Infiniti e infinitesimi. Derivate. Regole di derivazione. Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy. Formula di Taylor. Integrale di Riemann in una variabile. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo di integrali e primitive. Serie numeriche. Serie di potenze (cenni). Equazioni differenziali di tipo elementare.
  • Aritmetica (9 cfu)

    • Induzione, aritmetica degli interi, congruenze, principali strutture algebriche, omomorfismi, polinomi, estensioni di campi, campi finiti.
  • Laboratorio didattico di matematica computazionale (3 cfu)

    • Sperimentazione al calcolatore su numeri, polinomi, funzioni reali, sistemi lineari, equazioni differenziali, e altri oggetti matematici.
  • Analisi numerica con laboratorio (9 cfu)

    • Analisi degli errori, risoluzione di sistemi di equazioni lineari e non lineari, interpolazione e integrazione.
  • Attività a scelta dello studente (6 cfu)

    • Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
  • Inglese scientifico (6 cfu)

    • ha lo scopo di aiutare gli studenti a comprendere l'inglese di un testo matematico, e a padroneggiare la pronuncia di termini matematici essenziali. Inoltre, viene richiamata la grammatica usata nell'inglese comune e nell'inglese scientifico.
  • Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)

    • Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
  • Algebra 1 (6 cfu)

    • Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
  • Analisi matematica 2 (12 cfu)

    • Calcolo differenziale. Spazi metrici e nozioni di base di topologia. Convergenza uniforme. Serie di funzioni. Equazioni differenziali ordinarie e sistemi. Teorema della funzione inversa e della funzione implicita. Massimi e minimi vincolati. Misura e integrazione. Curve e Superfici. Formula della divergenza. Campi vettoriali e 1-forme.
  • Geometria 2 (12 cfu)

    • Spazi proiettivi, proiettività, riferimenti proiettivi. Coniche e quaderiche. Curve algebriche piane; teorema di Bezout. Spazi topologici,assiomi di separazione, connessione, compattezza, topologia prodotto, topologia quoziente. Funzioni di una variabile complessa: funzioni analitiche, olomorfe e meromorfe, teorema di Cauchy, teorema dei residui. Gruppo fondamentale e rivestimenti.
  • Laboratorio sperimentale di matematica computazionale (6 cfu)

    • Risoluzione al calcolatore di problemi matematici.
  • Fisica III (6 cfu)

    • Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
  • Prova finale (9 cfu)

    • Consiste nella discussione orale di un elaborato scritto individuale, redatto dallo studente con l'assistenza di almeno un docente (relatore), eventualmente esterno al corso di laurea, in cui sia presentato un argomento matematico di particolare interesse teorico, algoritmico o applicativo.
  • Fisica II (9 cfu)

    • Elettrostatica e magnetostatica nel vuoto, correnti stazionarie, induzione, circuiti passivi lineari RLC, equazioni di Maxwell, onde elettromagnetiche, polarizzazione, irraggiamento, riflessione e rifrazione.
  • Attività a scelta dello studente (6 cfu)

    • Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
  • Attività a scelta dello studente (6 cfu)

    • Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
  • Sistemi dinamici (6 cfu)

    • Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo MCMA

    • Modulo caratterizzante "modellistico-applicativo"
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)

      • Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema Limite Centrale) Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener ed il processo di Poisson.
    • Meccanica razionale (6 cfu)

      • Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo MCTF

    • Modulo caratterizzante "teorico"
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)

      • Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)

      • Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche.
    • Storia della matematica (6 cfu)

      • Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale fino alla fine del XIX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno, accoppiato un approfondimento di uno o piu temi particolarmente rilevanti, quali la geometria cartesiana, l'invenzione del calcolo infinitesimale, le origini della teoria di Galois, la "nuova'' analisi di Cauchy.

  • Computazionale
  • Laboratorio di comunicazione mediante calcolatore (3 cfu)

    • Cenni sull’hardware: clock, CPU, RAM, I/O. Linux: il kernel, utenti e diritti, l’albero dei file, i filesystem, i processi. Comandi principali. La bash e le consolle virtuali. Interconnessione di calcolatori in rete. Filosofia Client Server. X11, i name server, telnet, ftp, secure shell, finger, talk, lpr. E-mail. WWW. Scrittura di testi matematici in TEX. Scrittura di pagine Web in html.
  • Analisi matematica 1 (15 cfu)

    • Funzioni elementari (potenze, esponenziali, logaritmi, eccetera). Connettivi e quantificatori logici. Teoria elementare degli insiemi. Numeri reali e complessi. Estremo superiore e inferiore. Limiti di successioni. Completezza e compattezza. Limiti di funzioni e funzioni continue. Teorema degli zeri e teorema di Weierstrass. Infiniti e infinitesimi. Derivate. Regole di derivazione. Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy. Formula di Taylor. Integrale di Riemann in una variabile. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo di integrali e primitive. Serie numeriche. Serie di potenze (cenni). Equazioni differenziali di tipo elementare.
  • Fisica I con laboratorio (9 cfu)

    • Lezioni: Cinematica, dinamica, moto circolare, sistemi di riferimento, energia, potenziale,attrito, oscillatore armonico, urti, leggi di Keplero, rotazioni, momento d'inerzia, dinamica rotazionale.
      Laboratorio: misure, errori e loro propagazione, regressione lineare statistica, chi quadro; laboratorio didattico con raccolta e analisi dei dati di alcune semplici esperienze di meccanica.
  • Fondamenti di programmazione con laboratorio (9 cfu)

    • Programmazione: introduzione al linguaggio C. Cenni di teoria degli automi e dei linguaggi. Laboratorio: Uso del linguaggio C. Sperimentazione dei concetti introdotti nel corso.
  • Geometria 1 (15 cfu)

    • Sistemi lineari; struttura lineare di R^n; spazi vettoriali, sottospazi e applicazioni lineari; determinanti; geometria analitica: mutue posizioni di rette e piani nello spazio; diagonalizzazione, triangolarizzazione di matrici e applicazioni lineari; teorema di Jordan; forme bilineari e teorema di Sylvester; teorema spettrale; classificazione delle forme quadratiche.
  • Aritmetica (9 cfu)

    • Induzione, aritmetica degli interi, congruenze, principali strutture algebriche, omomorfismi, polinomi, estensioni di campi, campi finiti.
  • Analisi numerica con laboratorio (9 cfu)

    • Analisi degli errori, risoluzione di sistemi di equazioni lineari e non lineari, interpolazione e integrazione.
  • Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)

    • Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
  • Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)

    • Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
  • Algebra 1 (6 cfu)

    • Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
  • Analisi matematica 2 (12 cfu)

    • Calcolo differenziale. Spazi metrici e nozioni di base di topologia. Convergenza uniforme. Serie di funzioni. Equazioni differenziali ordinarie e sistemi. Teorema della funzione inversa e della funzione implicita. Massimi e minimi vincolati. Misura e integrazione. Curve e Superfici. Formula della divergenza. Campi vettoriali e 1-forme.
  • Geometria 2 (12 cfu)

    • Spazi proiettivi, proiettività, riferimenti proiettivi. Coniche e quaderiche. Curve algebriche piane; teorema di Bezout. Spazi topologici,assiomi di separazione, connessione, compattezza, topologia prodotto, topologia quoziente. Funzioni di una variabile complessa: funzioni analitiche, olomorfe e meromorfe, teorema di Cauchy, teorema dei residui. Gruppo fondamentale e rivestimenti.
  • Laboratorio didattico di matematica computazionale (3 cfu)

    • Sperimentazione al calcolatore su numeri, polinomi, funzioni reali, sistemi lineari, equazioni differenziali, e altri oggetti matematici.
  • Inglese scientifico (6 cfu)

    • ha lo scopo di aiutare gli studenti a comprendere l'inglese di un testo matematico, e a padroneggiare la pronuncia di termini matematici essenziali. Inoltre, viene richiamata la grammatica usata nell'inglese comune e nell'inglese scientifico.
  • Calcolo scientifico (6 cfu)

    • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
  • Linguaggi di programmazione con laboratorio (9 cfu)

    • Macchine astratte, descrizione formale dei linguaggi di programmazione, tecniche di realizzazione
  • Ricerca operativa (6 cfu)

    • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
  • Sistemi dinamici (6 cfu)...


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