Analisi ii per ingegneria elettronica

Successioni e serie di funzioni

convergenza puntuale e uniforme. Teorema sulla continuità del limite di successioni di funzioni continue. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata (sd). Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Serie di funzioni: convergenza puntuale, uniforme e assoluta. Criterio di Cauchy (sd). Convergenza totale. Teorema sull’uniforme e assoluta convergenza delle serie totalmente convergenti. Teorema sulla continuità della somma di una serie di funzioni continue. Teorema di derivabilità termine a termine (sd). Teorema di integrabilità termine a termine.

Funzioni reali di più variabili reali parte 1

Cenni sugli spazi vettoriali Rn. Elementi di topologia. Funzioni reali di due o più variabili reali. Limiti e continuità. Teorema di Weierstrass (sd). Teorema di esistenza dei valori intermedi (sd). Derivate parziali. Derivate successive. Teorema di Schwarz (s.d.). Gradiente e differenziabilità. Interpretazione geometrica della differenziabilità. Piano tangente al grafico. Differenziabilità implica continuità. Teorema del differenziale primo. Funzioni composte. Teorema di derivazione delle funzioni composte . Derivate direzionali. Derivata direzionale di una funzione differenziabile . Interpretazione geometrica della derivata direzionale.

Funzioni reali di più variabili reali parte 2

Teorema sull’ interpretazione geometrica del vettore gradiente di una funzione differenziabile. Funzioni con gradiente nullo in un connesso. Formula di Taylor al secondo ordine col resto di Lagrange. Estremi relativi, minimi, massimi, punti critici e punti sella. Condizione necessaria del primo ordine. Condizione necessaria e condizione sufficiente del secondo ordine (sd). Ricerca di massimi e minimi assoluti di funzioni continue in insiemi compatti.

Equazioni Differenziali parte 1

Equazioni differenziali e problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari, definizione di integrale generale, integrale generale dell’equazione omogenea, integrale generale dell’equazione completa. Il problema di Cauchy per le equazioni differenziali lineari. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Integrale generale delle equazioni differenziali lineari del primo ordine omogenee. Integrale generale delle equazioni differenziali lineari del primo ordine complete. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine. Integrali linearmente indipendenti. Il Wronskiano. Caratterizzazione di integrali linearmente indipendenti. Caratterizzazione dell’integrale generale per le equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee e non.

Equazioni Differenziali parte 2

Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Polinomio caratteristico. Metodo di Lagrange della variazione delle costanti (sd). Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti con termine noto di tipo particolare. Caratterizzazione dell’integrale generale per le equazioni differenziali lineari di ordine n omogenee e non (s.d.)Il teorema di Cauchy di esistenza e unicità locale (sd) e suo Corollario. Teorema di Cauchy di esistenza e unicità globale (sd) e suo corollario. Applicazione alle equazioni differenziali lineari. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali del primo ordine in forma normale. Equazioni a variabili separabili.

Curve, integrali curvilinei

Curve nel piano. Curve semplici, curve chiuse, curve regolari. Curve fondamentali. Retta tangente ad una curva regolare . Versore tangente e versore normale. Curve equivalenti. Curve orientate. Equazioni polari di una curva. Cambiamento ammissibile di parametro. Lunghezza di una curva . Curve generalmente regolari. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. Principali proprietà (sd). Baricentro di una curva. Curve in Rn

Forme differenziali lineari

Forme differenziali nel piano e nello spazio. Primitiva di una forma differenziale. Forme differenziali a coefficienti continui. Integrale curvilineo di una forma differenziale e principali proprietà. Forme differenziali esatte. Teorema di caratterizzazione delle forme differenziali esatte in aperti connessi di R2 . Forme differenziali chiuse. Forme differenziali a coefficienti regolari. . Teorema sulle forme differenziali in un aperto semplicemente connesso di R2. Forme differenziali chiuse in R3 . Aperti stellati di R3 . Teorema sulle forme differenziali chiuse in un aperto stellato di R3 (sd). Interpretazione fisica

Integrali multipli

Integrale doppio su domini normali; proprietà dell'integrale, integrabilità delle funzioni continue, misurabilità del cilindroide; formule di riduzione degli integrali doppi (senza dim.); domini regolari nel piano, formule di Gauss-Green nel piano, teorema della divergenza nel piano, formule di Stokes e di integrazione per parti nel piano; cambiamento di variabili negli integrali doppi (senza dim.), coordinate polari. Integrali tripli, formule di riduzione (senza dim.), volume di un solido di rotazione; cambiamento di variabili (senza dim.), coordinate cilindriche, coordinate sferiche. Volume di un solido di rotazione.

Superfici e integrali di superficie

Superfici regolari, piano tangente e versore normale; area di una superficie, superfici di rotazione; superfici orientabili, superfici con bordo; integrali di superficie; la formula di Stokes, il teorema della divergenza nello spazio (senza dim.). Fanno parte integrante del programma gli esercizi svolti durante le lezioni