Analisi matematica ii per ingegneria biomedica

Successioni di funzioni

Convergenza puntuale e convergenza uniforme. Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme (cd). Teorema di inversione dei limiti (cd). Continuità del limite (cd). Teorema di passaggio a limite sotto il segno di integrale (cd) e teorema di passaggio a limite sotto il segno di derivata (cd). Serie di funzioni: Convergenza puntuale, convergenza uniforme e convergenza totale. Teorema di inversione dei limiti (cd). Continuità della somma (cd). Teorema di integrazione per serie e teorema di derivazione per serie. Serie di Taylor: condizioni per la sviluppabilità in serie di Taylor.

Serie di funzioni

Convergenza puntuale, convergenza uniforme e convergenza totale. Teorema di inversione dei limiti (cd). Continuità della somma (cd). Teorema di integrazione per serie e teorema di derivazione per serie. Serie di Taylor: condizioni per la sviluppabilità in serie di Taylor.

Funzioni di più variabili

Elementi di topologia nelpiano e nello spazio. Limiti e continuità. Derivate parziali. Derivate successive. Il Teorema di Schwarz (cd). Gradiente. Differenziabilità e teorema del differenziale (cd). Derivata della funzione composta (cd). Derivate direzionali. Teorema di Lagrange per funzioni di più variabili (cd). Funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso (cd). Massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili: condizione necessarie (cd) e condizioni sufficienti. Massimi e minimi di funzioni di più variabili in insiemi compatti.

Equazioni differenziali

Integrale particolare; Integrale generale; Problema di Cauchy. Teoremi di esistenza ed unicità locale e globale. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Soluzioni dipendenti ed indipendenti. Wronskiano e sue proprietà. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee e non omogenee. Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti omogenee. Il metodo della variazioni delle costanti.

Curve regolari

Curve orientate. Curve rettificabili. Teorema di rettificabilità. Lunghezza di una curva. Integrale curvilineo di una funzione. Campi vettoriali, lavoro, campi vettoriali conservativi e irrotazionali. Forme differenziali lineari. Integrale curvilineo di una forma differenziale. Forme differenziali esatte teorema di integrazione delle forme esatte (cd) e teorema di caratterizzazione delle forme differenziali esatte (cd). Forme differenziali chiuse e campi irrotazionali. Aperti stellati e Lemma di Poincarè. Baricentro e momenti d'inerzia.

Integrali doppi e tripli:

Definizione di integrale doppio e triplo secondo Riemann. Misura di Peano-Jordan. Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan. Funzioni integrabili secondo Riemann. Integrabilità delle funzioni generalmente continue. Formule di riduzione per gli integrali doppi e tripli. Formule di Gauss-Green nel piano. Il teorema della divergenza (con dim. solo nel piano). Formula di Stokes nel piano (cd). Lemma di Poincarè (cd) in domini semplicemente connessi del piano. Cambiamento di variabili negli integrali doppi e tripli. Calcolo di aree piane e di volumi. Superfici regolari: Definizione di superficie regolare. Esempi. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Integrale di superficie. Superfici orientabili. Superfici con bordo. Formula di Stokes e teorema della divergenza nello spazio. Per gli argomenti seguiti dal simbolo (cd) è richiesta la dimostrazione.