Analisi matematica ii per ingegneria chimica

NUMERI COMPLESSI

definizione e proprietà. Operazioni di somma e prodotto. Forma algebrica e forma trigonometrica di un numero complesso. Potenze e radici di un numero complesso.

SERIE E SUCCESSIONI DI FUNZIONI

Introduzione alle serie di funzioni. Serie totalmente convergenti. Serie di potenze; caratterizzazione dell’insieme di convergenza di una serie di potenze, raggio di convergenza e teoremi di D’Alembert e di Cauchy-Hadamard. Raggio di convergenza delle serie derivate e integrate termine a termine. Caratterizzazione dei coefficienti di una serie di potenze: analiticità della somma. Sviluppabilità in serie di Taylor, condizioni sufficienti per la sviluppabilità, sviluppi notevoli.

ELEMENTI DI TOPOLOGIA

Insiemi chiusi, aperti, punti di accumulazione e punti di frontiera: caratterizzazione degli insiemi chiusi. Compattezza e caratterizzazione dei compatti di R^n (s.d.). Convessità e connessione. Funzioni scalari di più variabili, funzioni vettoriali. Definizione di limite e di continuità: proprietà relative; teorema di Weierstrass (s.d.) e degli zeri nei connessi (s.d.).

CALCOLO DIFFERENZIALE

Derivate direzionali e derivate parziali; differenziabilità: teorema del differenziale totale; derivazione delle funzioni composte; derivate parziali di ordine superiore; invertibilità dell'ordine di derivazione: teorema di Schwarz (s.d.); Teorema di Lagrange e formula di Taylor arrestata al secondo ordine; massimi e minimi relativi: condizione necessaria del I ordine e del II ordine, condizioni sufficienti. Ricerca dei massimi e minimi assoluti in un compatto.

CURVE

Curve regolari e regolari a tratti: retta tangente; orientamento di una curva; rettificabilità di un arco di curva regolare (s.d.), ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione: definizione e proprietà.

INTEGRAZIONE IN R2 e R3

Integrale di Riemann: definizione e proprietà. Integrale nei domini normali; formule di riduzione in R2 ed R3 (s.d.); cambiamento di variabili in R2 ed R3 (s.d.). Volume di un solido di rotazione: teorema di Guldino.

SUPERFICI

Superfici regolari di R3; piano tangente. Superfici orientabili, superfici con bordo, superfici chiuse. Area di una superficie (s.d.) e integrale superficiale. Superfici di rotazione: teorema di Guldino. Definizione di flusso attraverso una superficie.

FORME DIFFERENZIALI

Forme differenziali lineari e relativo integrale curvilineo. Forme differenziali esatte: I criterio di integrabilità; forme chiuse; formule di Gauss-Green nel piano; II criterio di integrabilità e la formula di Stokes nel piano; teorema della divergenza. Il rotore e la formula di Stokes in R3 (s.d.). Il teorema della divergenza in R3 (s.d.).

FUNZIONI IMPLICITE

I teoremi del Dini per le funzioni di due variabili. Estremi vincolati e teorema dei moltiplicatori di Lagrange

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Problema di Cauchy per equazioni differenziali: teorema di esistenza e di unicità in piccolo (s.d.) e in grande (s.d.); equazioni lineari e teoremi relativi, definizione e proprietà del Wronskiano; il metodo di Lagrange della variazione delle costanti arbitrarie; equazioni lineari a coefficienti costanti omogenee e non, termini noti di tipo particolare. Equazioni a variabili separabili.