Analisi matematica ii per ingegneria dei materiali

SUCCESSIONI E SERIE, NUMERI COMPLESSI

Successioni di funzioni: convergenza puntuale e uniforme. I primi teoremi sulla convergenza uniforme. I teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata. Serie di funzioni. Serie di potenze. Serie di Taylor. Sviluppi in serie notevoli. Definizione e proprietà. Operazioni di somma e prodotto. Forma algebrica e forma trigonometrica di un numero complesso. Potenze e radici di un numero complesso.

FUNZIONI IN R-N

Richiami di topologia in Rn. Limiti e continuità. Derivate parziali. Derivate successive. Il teorema di Schwarz. Gradiente. Differenziabilità. Funzioni composte. Derivate direzionali. Funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso. Funzioni omogenee. Funzioni definite mediante integrali. Formula di Taylor (escluso i differenziali di ordine superiore al secondo). Massimi e minimi relativi (solo dim. in 2 var.). Funzioni a valori vettoriali (sd).

CURVE

Curve regolari. Curve orientate. Lunghezza di una curva. Integrale curvilineo di una funzione. Curvatura di una curva piana. Il prodotto vettoriali in R3 (sd). Curve biregolari in R3. Curve in R3: torsione (sd ed escluso il triedro fondamentale).

FORME DIFFERENZIALI IN R-N

Forme differenziali lineari. Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare. Forme differenziali esatte. Forme differenziali esatte nel piano. Aperti semplicemente connessi in R2. Forme differenziali nello spazio.

CAMPI E RELATIVI TEOREMI

Campi vettoriali. Lavoro. Campi conservativi. Campi irrotazionali. Teorema della divergenza. Formula di Stokes.

CALCOLO INTEGRALE IN R-N

Integrali doppi su domini normali. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Formule di Gauss-Green. Cambiamento di variabili negli integrali doppi (sd). Integrali tripli (sd). SUPERFICI IN R-N. Superfici regolari. Coordinate locali e cambiamento di parametro. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie (sd). Integrale di superficie. Superfici orientabili. Superfici con bordo. Integrali di superficie. Integrale di Riemann: definizione e proprietà. Integrale nei domini normali; formule di riduzione in R2 ed R3 (s.d.); cambiamento di variabili in R2 ed R3 (s.d.). Volume di un solido di rotazione: teorema di Guldino.

FUNZIONI IMPLICITE

Il Teorema del Dini per le equazioni (tranne la dimostrazione del teorema del Dini per funzioni di più variabili). Il teorema del Dini per i sistemi (sd). Massimi e minimi vincolati. Moltiplicatori di Lagrange (sd).

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Problema di Cauchy per equazioni differenziali: teorema di esistenza e di unicità in piccolo (s.d.) e in grande (s.d.); equazioni lineari e teoremi relativi, definizione e proprietà del Wronskiano; il metodo di Lagrange della variazione delle costanti arbitrarie; equazioni lineari a coefficienti costanti omogenee e non, termini noti di tipo particolare. Equazioni a variabili separabili.