Analisi matematica ii per ingegneria edile architettura

L’integrazione indefinita

Primitive di una funzione e teorema sulle primitive. La nozione di integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Integrali di funzioni razionali. Metodi di integrazione indefinita per decomposizione in somma, per parti e per sostituzione e loro applicazione ad alcuni tipici esempi.

L’integrazione secondo Riemann delle funzioni reali di una variabile reale

Rettangoloide relativo ad una funzione reale di una variabile reale. Misurabilità del rettangoloide di una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato. Definizione di integrale definito di una funzione limitata in un intervallo chiuso e limitato e sue proprietà. Teorema della media. Funzione integrale di una funzione continua. Lemma sulla funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale.

Spazi vettoriali euclidei a più dimensioni

Spazio vettoriale geometrico a una, due, tre dimensioni: somma di vettori, prodotto di un vettore per uno scalare. Angolo fra due vettori e loro prodotto scalare. Componenti scalari di un vettore rispetto ad una base, componenti cartesiane di un vettore. Espressioni cartesiane delle operazioni vettoriali e del prodotto scalare. Prodotto vettoriale di due vettori. Equazioni vettoriali di una retta, di un segmento e di un piano. Coseni direttori di una retta orientata. Spazio vettoriale numerico a più dimensioni. Rette, segmenti, sfere e parallelepipedi in Rn. Coordinate polari nel piano, coordinate polari nello spazio.

Funzioni reali di più variabili reali. Funzioni vettoriali. Limiti e continuità

Elementi di topologia in Rn. La nozione di dominio e di regione. Insiemi connessi e insiemi connessi per poligonali. Funzioni reali e vettoriali di più variabili reali. Estremi di una funzione reale di più variabili reali. La nozione di limite e di continuità per funzioni reali e per funzioni vettoriali. Limiti e continuità secondo una direzione. Teorema di Bolzano sulle funzioni continue in un connesso. Teorema degli zeri. Teorema di Weierstrass.

Calcolo differenziale per funzioni reali e vettoriali di più variabili reali

Derivate parziali delle funzioni reali di due o più variabili reali. Gradiente. Derivata direzionale. La nozione di differenziabilità e le principali proprietà delle funzioni differenziabili. Interpretazione geometrica nel caso delle funzioni di due variabili. La nozione di differenziale. Teorema di derivazione delle funzioni composte. Teorema di Lagrange per le funzioni reali di più variabili reali. Funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz sull’ invertibilità dell’ordine di derivazione. Formula di Taylor del 2° ordine con il resto di Lagrange. Minimi e massimi relativi delle funzioni reali di due variabili reali: condizioni necessarie e condizioni sufficienti affinché un punto sia di minimo o di massimo relativo. Minimi e massimi assoluti. Estensione di tali nozioni alle funzioni reali di n variabili reali. Funzioni vettoriali: Derivate parziali e derivate direzionali. Matrice Jacobiana di una funzione vettoriale.

Integrazione delle funzioni di più variabili

Misura secondo Peano-Jordan di sottoinsiemi limitati di R3. Definizione di integrale doppio di una funzione continua esteso ad un compatto misurabile e sue proprietà. Volume del cilindroide relativo ad una funzione di due variabili continua, di base un compatto misurabile. Formule di riduzione per gli integrali doppi estesi a domini normali rispetto ad uno degli assi cartesiani. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Insiemi polari. Integrali tripli. Formule di riduzione per gli integrali tripli e cambiamento di variabili negli integrali tripli. Applicazione al calcolo di aree e volumi. Volume dei solidi di rotazione.

Elementi di geometria differenziale delle curve e integrali curvilinei (PARTE 1 )

Curve semplici, piane o sghembe, aperte o chiuse. Curve regolari e rappresentazioni parametriche regolari. Retta tangente, e versore tangente positivo in un punto di una curva regolare orientata: espressione del versore. Retta normale e versore normale in un punto di una curva piana regolare. Curve generalmente regolari. Curve rettificabili, espressione della lunghezza per mezzo di un integrale. Curve regolari in coordinate polari. Rappresentazione parametrica in funzione dell’ascissa curvilinea. La nozione di dominio piano regolare. Orientamento positivo della frontiera di un dominio piano regolare. Integrale curvilineo di una funzione continua esteso ad una curva regolare o generalmente regolare e sue proprietà. Teorema di calcolo degli integrali curvilinei

Elementi di geometria differenziale delle curve e integrali curvilinei (PARTE 2 )

La nozione di lavoro e di circuitazione di un campo vettoriale continuo lungo una curva orientata. Forme differenziali lineari. Formule di Gauss nel piano. Teorema della divergenza e Teorema di Stokes nel piano. Campi vettoriali conservativi. Caratterizzazione dei campi vettoriali conservativi attraverso il lavoro del campo lungo una curva generalmente regolare aperta e la circuitazione lungo una curva generalmente regolare chiusa. Campi irrotazionali. Campi vettoriali di classe C1 in aperti a connessione lineare semplice: caratterizzazione dei campi vettoriali conservativi attraverso l’annullamento del campo vettoriale rotore.

Elementi di geometria differenziale delle superfici e integrali superficiali

La nozione di superficie e di bordo di una superficie. Superfici regolari e rappresentazioni parametriche regolari di una superficie. Piano tangente e versore normale in un punto di una superficie regolare. Orientabilità di una superficie regolare con bordo e di una superficie regolare chiusa. Orientamento del bordo di una superficie regolare. Superfici generalmente regolari. Esempi di superfici: superficie sferica, superfici cilindriche e di rotazione, diagrammi di funzioni continue di due variabili reali. Area di una superficie regolare. Area di una superficie generalmente regolare. Area di una superficie di rotazione. Integrale superficiale di una funzione continua esteso ad una superficie regolare o generalmente regolare e sue proprietà. Teorema di calcolo degli integrali superficiali. La nozione di flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie orientata. Teorema della divergenza e Teorema di Stokes.

Equazioni differenziali ordinarie

Equazioni differenziali ordinarie in forma normale e problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità in una striscia. Integrale generale di una equazione differenziale. Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine in forma non normale. Le equazioni differenziali lineari a coefficienti variabili. Wronskiano. Integrale generale di una equazione differenziale lineare omogenea e di una equazione differenziale lineare completa. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Equazione caratteristica associata ad una equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti. Metodi brevi per determinare un integrale particolare di una equazione completa, quando il termine noto è di tipo particolare. Equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari del primo ordine a coefficienti variabili.

Successioni e serie di funzioni

Serie di funzioni: vari tipi di convergenza e loro legami; continuità della somma di una serie di funzioni; derivabilità e integrabilità termine a termine delle serie di funzioni. Serie di potenze nel campo reale: raggio di convergenza; comportamento di una serie di potenze nell’intervallo di convergenza e proprietà della somma; Teorema di Cauchy-Hadamard e di D’Alembert; sviluppabilità in serie di Taylor di una funzione reale. Sviluppo in serie di Mac-Laurin delle funzioni sen x; cos x; ex; log(1 + x).