Analisi matematica ii per ingegneria elettrica

SUCCESSIONI E SERIE

Successioni di funzioni: convergenza puntuale e uniforme. I primi teoremi sulla convergenza uniforme. I teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata. Serie di funzioni. Serie di potenze. Serie di Taylor. Sviluppi in serie notevoli.

FUNZIONI IN R-N

Richiami di topologia in Rn. Limiti e continuità. Derivate parziali. Derivate successive. Il teorema di Schwarz. Gradiente. Differenziabilità. Funzioni composte. Derivate direzionali. Funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso. Funzioni omogenee. Funzioni definite mediante integrali. Formula di Taylor (escluso i differenziali di ordine superiore). Massimi e minimi relativi (solo dim. in 2 var.). Funzioni a valori vettoriali (sd).

CURVE

Curve regolari. Curve orientate. Lunghezza di una curva. Integrale curvilineo di una funzione. Curvatura di una curva piana. Il prodotto vettoriali in R3 (sd). Curve biregolari in R3. Curve in R3: torsione (sd ed escluso il triedro fondamentale).

FORME DIFFERENZIALI IN R-N

Forme differenziali lineari. Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare. Forme differenziali esatte. Forme differenziali esatte nel piano. Aperti semplicemente connessi in R2. Forme differenziali nello spazio.

CAMPI E RELATIVI TEOREMI

Campi vettoriali. Lavoro. Campi conservativi. Campi irrotazionali. Teorema della divergenza. Formula di Stokes.

CALCOLO INTEGRALE IN R-N

Integrali doppi su domini normali. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Formule di Gauss-Green. Cambiamento di variabili negli integrali doppi (sd). Integrali tripli (sd). SUPERFICI IN R-N. Superfici regolari. Coordinate locali e cambiamento di parametro. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie (sd). Integrale di superficie. Superfici orientabili. Superfici con bordo. Integrali di superficie.

FUNZIONI IMPLICITE

Il Teorema del Dini per le equazioni (tranne la dimostrazione del teorema del Dini per funzioni di più variabili). Il teorema del Dini per i sistemi (sd). Massimi e minimi vincolati. Moltiplicatori di Lagrange (sd).

Equazioni differenziali

Integrale generale; Integrale particolare; Problema di Cauchy. Teoremi di esistenza ed unicità locale e globale. (sd) Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali del primo ordine in forma normale e non in forma normale. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee e non omogenee. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali del secondo ordine. Teorema del Wroskiano, lineare indipendenza delle soluzioni di un’equazione differenziale lineare. Integrale generale di un’equazione differenziale lineare non omogenea. Metodo di Lagrange della variazione delle costanti. Equazioni di Clairaut. Equazioni di Eulero. Equazioni di Bernoulli.