Fisica matematica per ingegneria dei materiali

Algebra vettoriale e tensoriale

Vettori e loro rappresentazione. Legge di trasformazione delle componenti di un vettore. Prodotto tensoriale e tensori affini. Operazioni tensoriali e criteri di tensorialità. Tensori euclidei. Endomorfismi ed automorfismi in uno spazio vettoriale. Tensori simmetrici e antisimmetrici. Invarianti. Autovalori ed autovettori di un tensore doppio. Endomorfismi e loro collegamento con i tensori doppi. Ortogonalizzazione. Isometrie. Spazi puntuali affini. Trasformazioni e matrici ortogonali. Aggiunto di un tensore doppio antisimmetrico.

Calcolo nello spazio fisico (PARTE 1)

Assioma dello spazio fisico. Orientamento dello spazio. Coordinate curvilinee e riferimento naturale associato. Momento polare di un sistema di vettori applicati. Legge di variazione del momento al variare del polo, campo momento. Momento di una coppia. Momento assiale di un sistema di vettori applicati. Condizioni di equivalenza ed operazioni invariantive elementari. Equivalenza di ogni sistema ad un vettore applicato in un punto arbitrario prefissato più una coppia. Equivalenza a due vettori. Sistemi equivalenti a zero. Centro di un sistema di vettori applicati paralleli a risultante non nullo. Centro di due vettori paralleli. Proprietà distributiva e proprietà di ubicazione del centro di un sistema parallelo.Ascissa curvilinea e versore della tangente. Piano osculatore. Curvatura e raggio di curvatura.

Calcolo nello spazio fisico (PARTE 2)

Prima formula di Frenet e triedro principale..Quadrica indicatrice di un tensore doppio simmetrico. Campi vettoriali dello spazio fisico. Campi equiproiettivi. Invariante scalare e vettoriale di un campo equiproiettivo. Asse di un campo equiproiettivo. Asse centrale ed invariante scalare e vettoriale di un sistema di vettori applicati. Sistemi ad invariante scalare nullo. Campi conservativi.

Cinematica (PARTE 1)

Tempo proprio di un osservatore. Spazio tempo di un osservatore. Collegamento tra gli spazi tempo di due osservatori. Assiomi delle distanze e dei tempi assoluti. Equazioni finite del moto di un punto. Legge oraria e diagramma orario. Moti composti. Velocità scalare. Moto uniforme. Velocità vettoriale. Accelerazione scalare. Moto accelerato e moto ritardato. Moto uniformemente vario. Accelerazione vettoriale. Accelerazione tangenziale ed accelerazione normale. Riferimento naturale associato alle coordinate polari. Velocità ed accelerazione radiale e trasversa. Velocità angolare e velocità areale. Moto circolare uniforme. Moto armonico. Equazione differenziale dei moti armonici.

Cinematica (PARTE 2)

Moto elicoidale uniforme.Punti di vista Lagrangiano ed Euleriano. Generalità sugli spostamenti e sui moti rigidi. Equazioni generali dei moti rigidi. Grado di libertà di un corpo rigido. Condizione cinematica di rigidità. Velocità angolare. Derivata di un vettore solidale, formule di Poisson. Moto traslatorio. Moto rotatorio. Moto rigido elicoidale. Atti di moto elicoidale e teorema di Mozzi. Moti rigidi sferici. Moti rigidi piani. Teorema di Chasles. Spostamento rigido infinitesimo. Sistemi a vincoli olonomi.

CINEMATICA (PARTE 3)

Coordinate Lagrangiane. Equazioni del moto in coordinate lagrangiane. Spostamenti possibili e spostamenti virtuali. Spostamenti virtuali reversibili ed irreversibili. Rappresentazione lagrangiana ed euleriana del moto. Principio dei moti relativi. Teorema di Coriolis. Moto di trascinamento traslatorio, spazi equivalenti. Moto di trascinamento rotatorio. Relazione tra le derivate temporali di un vettore variabile in due spazi. Moti composti. Composizione di moti rigidi.

Meccanica (PARTE 1)

Principio d'inerzia. Spazi-tempo inerziali. Assiomatiche della meccanica. Massa inerziale. Forza. Principio di azione e reazione. Legge di forza. Forze assegnate. Campi di forze. Equazione fondamentale della meccanica del punto libero e suo carattere determinista. Integrali primi. Equazioni intrinseche. Statica del punto libero in spazi inerziali: definizione e condizione d'equilibrio. Equazione fondamentale della meccanica del punto libero in spazi non inerziali. Equazione del moto di un punto libero in uno spazio in moto traslatorio rispetto ad uno spazio inerziale. Principio di relatività galileiana. Statica del punto libero in spazi non inerziali: definizioni e condizioni d'equilibrio relativo. Moto dello spazio terrestre nello spazio di Keplero. Forze apparenti della meccanica terrestre. Peso.

Meccanica (PARTE 2)

Massa inerziale e massa gravitazionale. Equazione fondamentale della meccanica terrestre. Equazione differenziale del moto di un punto vincolato ad una curva priva di attrito. Condizione pura d'equilibrio di un punto vincolato ad una curva. Determinazione della prima forma delle equazioni cardinali della meccanica per i sistemi di punti materiali. Equazioni cardinali della statica. Quantità di moto e baricentro di un sistema di punti materiali. Equazioni del bilancio della quantità di moto. Equazione del bilancio del momento della quantità di moto. Moto intorno al baricentro. Moto del baricentro ed influenza delle forze interne sul moto del baricentro. Integrale del momento della quantità di moto e conservazione del moto del baricentro. Integrale del momento della quantità di moto, momento assiale delle quantità di moto e momento d'inerzia. Coordinate del baricentro e baricentro dei sistemi omogenei. Proprietà di ubicazione del baricentro.

Meccanica (PARTE 3)

Momento e raggio d'inerzia. Tensore d'inerzia. Autovalori ed autodirezioni del tensore d'inerzia. Legge di variazione del tensore d'inerzia al variare del polo. Proprietà riguardanti la determinazione degli assi e dei piani principali. Tensore centrale d'inerzia di alcune figure omogenee. Momento della quantità di moto intorno al baricentro. Momento della quantità di moto di un sistema rigido. Lavoro di un sistema di forze. Lavoro di un sistema di forze per uno spostamento rigido infinitesimo dei punti di applicazione. Reazioni vincolari. Problema fondamentale della dinamica dei sistemi olonomi di corpi rigidi. Sistemi a vincoli privi di attrito.

STATICA DEI SISTEMI OLONOMI DI CORPI RIGIDI

Principio dei lavori virtuali. Proprietà del lavoro virtuale delle reazioni vincolari nei sistemi di solidi a vincoli olonomi e privi di attrito. Le diverse specie di vincoli e le loro reazioni. Le imperfezioni dei vincoli. Sistemi staticamente determinati e indeterminati. La statica dei sistemi rigidi e la statica dei sistemi elastici. Determinazione delle reazioni vincolari esplicabili da alcuni vincoli più comuni. Problemi sul calcolo delle reazioni vincolari nei sistemi isostatici. Calcolo delle reazioni vincolari con le equazioni cardinali della statica e col principio dei lavori virtuali. Condizione pura d'equilibrio di un solido con un asse fisso privo di attrito, applicazioni. Trave appoggiata e incastrata. Sistemi articolati piani. Travi di tipo Gerber, arco a tre cerniere. Influenza dell'attrito sull'equilibrio.