Fisica matematica per ingegneria meccanica

VETTORI E TENSORI

Segmenti orientati e vettori liberi. Somma di vettori e casi particolari. Prodotto di uno scalare per un vettore. Differenza di due vettori. Proprietà dello spazio vettoriale geometrico. Prodotto scalare. La componente di un vettore. Terne levogire e destrogire. Prodotto vettoriale. Prodotto misto. Doppio prodotto vettoriale.

VETTORI E TENSORI 2

La rappresentazione cartesiana. Equazione vettoriale. Vettori applicati e momento polare. Momento assiale e proprietà. Regola di calcolo del momento assiale. Campi vettoriali. Risultante e momento risultante di un campo vettoriale. Asse centrale. Campi equivalenti. I due criteri di equivalenza. Equivalenza a zero. Coppie. Coppia di trasporto. Campi vettoriali piani e proprietà. Campo parallelo e proprietà. Centro di un campo parallelo e proprietà. Centro di due vettori paralleli. Legge di variazione delle componenti di un vettore. Definizione di tensore. Tensore doppio. Tensori simmetrici ed emisimmetrici. Criterio di tensorialità di una matrice simmetrica.

GEOMETRIA DELLE MASSE

Sistemi materiali. Punto materiale, sistema discreto e sistema continuo. Densità di massa. Baricentri e sue proprietà. Baricentri di sistemi omogenei. Calcolo del baricentro di alcuni sistemi omogenei. Momenti statici e sue proprietà. Momenti e prodotti d’inerzia. Leggi di variazione del momento d’inerzia. Il teorema di Huygens-Konig. Proprietà del trasporto. Il tensore d’inerzia. Ellissoide d’inerzia. Proprietà degli assi e piani principali d’inerzia. Ricerca degli assi principali per sistemi piani. Il tensore d’inerzia di alcuni sistemi continui omogenei.

CINEMATICA DEL PUNTO

Funzioni a valori vettoriali. Punto variabile. Derivazione di un punto variabile. Ascissa curvilinea e proprietà differenziali delle curve. Terna di Frenét. Prima formula di Frenét. Gli schemi della Cinematica. Descrizioni del moto di un punto. Velocità scalare e vettoriale. Spostamento elementare. Moti uniformi. Accelerazione scalare e vettoriale. Moti uniformemente vari. Moti piani e velocità angolare. Moto circolare. Moto circolare uniforme. Moto armonico. Equazione differenziale del moto armonico. Spirale logaritmica e moto armonico smorzato. Equazione differenziale del moto armonico smorzato.

CINEMATICA DEI SISTEMI

Sistemi materiali. Atto di moto. Spostamenti rigidi. Moti rigidi. Il riferimento solidale. Equazioni dei moti rigidi. Velocità di rotazione istantanea e formule di Poisson. Campo delle velocità nei moti rigidi. Moti traslatori. Moti rotatori. Moti elicoidali. Asse di moto e teorema di Mozzi. Atto di moto rotatorio ed assi istantanei di rotazione. Spostamenti rigidi elementari. Moti relativi. Il principio dei moti relativi. Teorema di Coriolis e casi particolari. Sistemi vincolati. Classificazione dei vincoli. Grado di libertà e coordinate lagrangiane. Esempi di calcolo del grado di libertà. Sistemi olonomi. Spostamenti possibili e spostamenti virtuali. Moti rigidi piani. Centro istantaneo di rotazione. Teorema di Chasles. Proprietà dell’atto di moto rigido piano. Rotolamento e strisciamento. Traiettorie polari. Moti rigidi sferici. Precessioni regolari. Precessione della Terra.

DINAMICA

Introduzione alla Dinamica: leggi di Newton. Riferimenti inerziali. Principio di azione e reazione. Campi di forze elementari. Legge di forza e determinismo dinamico. Equilibrio assoluto. Dinamica in un ambiente non inerziale. Equilibrio relativo. Meccanica terrestre. La forza peso. Lo schema con vincolo. Forze attive e reazioni vincolari. Dinamica del punto vincolato. Vincoli di appoggio ed appartenenza. Leggi dell’attrito. Lavoro elementare. Potenziale di una forza. Esempi di campi conservativi. Lavoro della forza peso. Prima forma del sistema cardinale della Meccanica. Quantità di moto e momento angolare. Moto relativo al baricentro. Relazioni cinetiche. Energia cinetica. Teorema di Konig. Equazioni cardinali della Meccanica. Leggi di Eulero. Teorema delle quantità di moto. Teorema del moto del baricentro. Applicazioni.

STATICA PARTE 1

Principio dei lavori virtuali (con DIM. della sola necessarieta') – Condizione di equilibrio per un corpo rigido con un punto fisso e lisco – Condizione di equilibrio per un corpo rigido con un asse fisso e liscio – Catene cinematiche e centro di istantanea rotazione – Regole per determinare i centri assoluti e relativi – Regola di calcolo delle reazioni vincolari mediante il principio dei lavori virtuali (e diagramma degli spostamenti) – Postulato delle reazioni vincolari – Buona posizione dei vincoli per una trave appoggiata – Esempio di trave Gerber a due tratti. Equazioni cardinali della statica –

STATICA PARTE 2

Problema staticamente determinato o indeterminato – Definizioni: sistema non labile, isostatico, iperstatico, indeformabile, strettamente indeformabile, esternamente o internamente isostatico – Criterio di interna isostaticità – Sistemi articolati piani e travature reticolari – Asta tirante e asta puntone – Sforzo relativo ad un’asta – Principio di sezionamento – Metodo dei nodi – Metodo di Ritter – Trave a ponte o trave Mohnie - Capriata semplice – Arco a tre cerniere – Trave Fink.

ELEMENTI DI MECCANICA DEL CONTINUO PARTE 1

Operatori differenziali – Gradiente di una funziona scalare e sue proprietà – Gradiente di una funzione vettoriale –Divergenza di un vettore e divergenze di un tensore - Sistemi continui deformabili – Descrizione lagrangiane ed euleriana dei moti – Moti regolari – Derivata lagrangiana e derivata euleriana – Moto stazionario – Flusso di un campo – Teorema della divergenza – Deformazione – Coefficiente di deformazione cubica, lineare ed angolare – Formula fondamentale dei sistemi non rigidi - Vettore degli sforzi – Tensore di Cauchy – Sforzo normale e sforzo tangenziale – Leggi di bilancio (relative alla quantità di moto ed alla conservazione della massa; sollecitazioni esterne; equazione di continuità e relativa conseguenza) – Sistemi incomprimibili – Moti solenoidali – Tubo di flusso (e legge di Castelli) –

ELEMENTI DI MECCANICA DEL CONTINUO PARTE 2

Cenni di dinamica dei fluidi – Fluidi non viscosi – Equazione costitutiva dei fluidi non viscosi – Fluidi perfetti – Caso adiabatico, caso isotermo e fluido barotropico ( Legge dell’idrostatica ) – Teorema di Bernoulli – Applicazioni (teorema di Torricelli, contatore di Venturi) – Esercizi sul tensore degli sforzi – Fluidi viscosi – Equazione costitutiva dei fluidi viscosi – Fluidi stokesiani e newtoniani – Equazioni di Navier-Stokes – Soluzioni classiche (soluzione nulla) - Moti laminari tra piani paralleli.