Geometria e algebra per ingegneria meccanica

Strutture Algebriche e Polinomi

Cenni di teoria degli insieme. Coppie ordinate e prodotto cartesiano. Corrispondenze tra insieme. Relazioni d’ordine. Elementi massimali e minimali. Relazioni d’equivalenza. Classi d’equivalenza ed insieme quoziente. Applicazioni tra insiemi. Controimmagine di un elemento. Applicazioni iniettive, suriettive e biettive. Composizione tra applicazioni. Applicazione identica e inversa. Operazioni binarie interne. Associativit`a, elemento neutro ed elemento simmetrico. Semigruppi, monoidi, gruppi, anelli, corpi e campi. Gli esempi degli insiemi numerici: N, N0, Z, Q, R, C. Cenni sui polinomie molteplicit`a delle radici. Operazioni esterne.

Spazi Vettoriali

Spazi vettoriali su un campo K e loro propriet`a elementari. Esempi di spazi vettoriali: Kn , vettori geometrici, polinomi, matrici. Dipendenza ed indipendenza di un sistema di vettori. Sistemi di generatori e spazi finitamente generati. Basi. Componenti di un vettore in una base. Lemma di Steinitz. Teorema di equipotenza delle basi. Estrazione di una base da un sistema di generatori. Dimensione. Estensione a base di un sistema indipendente. Sottospazi di uno spazio vettoriale. Sottospazi generati da un sottoinsieme o da un sistema. Somme di sottospazi, somme dirette e sottospazi supplementari. Teorema di Grassmann.

Matrici, determinanti e sistemi lineari (1° Parte)

Operazioni sulle matrici. La trasposta di una matrice. Matrici quadrate particolari: triangolari alte o basse. diagonali, scalari. Il prodotto righe per colonne e le sue propriet`a. Il monodie delle matrici quadrate di ordine n. Matrici invertibili. Operazioni elementari sulle righe (o colonne) di una matrice. Matrici a scala. Algoritmo di Gauss. Rango di una matrice. Sottomatrici. Determinanti e loro propriet`a. Teorema degli orlati. Metodi per il calcolo di un determinante. Teorema di Binet e questioni di invertibilit`a di matrici. Il gruppo GLn delle matrici invertibili di ordine n. Il calcolo dell’inversa di una matrice. Nozione di sistema lineare (di equazioni), su un campo.

Matrici, determinanti e sistemi lineari (2° Parte)

Soluzioni di un sistema e compatibilit`a. Teorema di Rouch`e-Capelli. Teoremi di unicit`a. Sistemi equivalenti e sistemi normali. Teorema di Cramer. I sistemi omogenei e il sottospazio delle loro soluzioni. Sistemi parametrici. Rappresentazione parametrica dell’insieme delle soluzioni di un sistema compatibile.

Applicazioni lineari, endomorfismi e diagonalizzazione (1° Parte)

Applicazioni lineari e loro propriet`a elementari. Composizione di applicazioni lineari. Nucleo e immagine di una applicazione lineare. Teorema della dimensione del nucleo e dell’immagine. Monomorfismi, epimorfismi ed isomorfismi. Applicazione lineare definita su una base e poi estesa per linearit`a. Applicazione lineare associata ad una matrice e matrice associata ad un’applicazione lineare rispetto a basi fissate. Matrici associate alle composte ed alle inverse. Matrice del cambiamento di base. Endomorfismi: autovalori, autovettori ed autospazi. La nozione di diagonalizzabilit`a di un endomorfismo. Teorema di caratterizazione degli autovalori.

Applicazioni lineari, endomorfismi e diagonalizzazione (2° Parte)

Teorema di invarianza del polinimio caratteristico. Molteplicit`a algebrica (m(λ)) e geometrica (dim Vλ) di un autovalore λ. Teorema sulle molteplicit`a. Teorema spettrale e suo Corollario. Algoritmo di diagonalizzazione di un endomorfismo o di una matrice. Matrice diagonalizzante.

Spazi Vettoriali Euclidei

Prodotti scalari definiti positivi su spazi vettoriali reali. Matrici associate a prodotti scalari. Vettori ortogonali. Complemento ortogonale di un sottospazio. Spazi vettoriali euclidei. Disuguaglianza di Schwarz. Norma e Modulo di un vettore. Angolo (non orientato) tra due vettori. Sistemi e basi ortogonali ed ortonormali. Cenni sul procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Endomorfismi tra spazi euclidei. La nozione di endomorfismo ortogonalmente diagonalizzabile. Endomorfismi simmetrici e completa decomponibilit`a dei loro polinomi caratteristici. Caratterizzazione degli endomorfismi ortogonalmente diagonalizzabili. Il gruppo On delle matrici ortogonali di ordine n,

Spazi affini e geometria analitica in dimensione 2 e 3 (1° Parte)

Spazi affini su un campo. Sottospazi affini e loro sottospazi direttori. Riferimenti affini e coordinate di un punto. Rette ed iperpiani in uno spazio di dimensione generica. Spazi affini euclidei. Il prodotto scalare tra vettori geometrici. Il prodotto vettoriale tra vettori geometrici, in dimensione 3. Ortogonalit`a e parallelismo tra vettori.

Spazi affini e geometria analitica in dimensione 2 e 3 (2° Parte)

Direttrice di una retta e giacitura di un piano. Rappresentazione analitica di rette e piani. Vettore direzionale di una retta e vettore normale di un piano. Fasci di rette nel piano e fasci di piani nello spazio. Condizioni di parallelismo ed ortogonalit`a. Distanza tra sottospazi nel piano e nello spazio. Posizione reciproca tra sottospazi, con particolare riferimento alla posizione reciproca tra rette nello spazio (parallele, incidenti, sghembe). Teorema della comune perpendicolare.