Geometria per ingegneria edile

Fondamenti

Insiemi. Numeri naturali. Funzioni e applicazioni. Famiglie con indici. Prodotto cartesiano. n-uple. Matrici. Relazioni; relazioni di equivalenza e relazioni di ordine stretto. Operazioni. Gruppi. Numeri reali. Geometria elementare: spazio, rette e piani; parallelismo; versi; segmenti e segmenti orientati; semipiani; angoli; congruenza; lunghezze, ampiezze e loro misura; versi concordi; seno e coseno.

Vettori geometrici

Vettori liberi ordinari. Parallelismo per i vettori liberi. Vettori applicati. Somma di un punto con un vettore libero. Addizione tra vettori liberi. Prodotto di un numero reale per un vettore libero. Prodotto scalare tra vettori liberi. Proprietà delle operazioni tra vettori liberi.

Vettori numerici e matrici

Vettori numerici reali. Prodotto scalare standard. Matrici sui reali. Prodotto righe per colonne. Matrice identica. Determinante. Minori. Sviluppo di Laplace. Proprietà del determinante; teorema di Binet. Matrice inversa.

Spazi vettoriali

Definizione di spazio vettoriale e primi esempi. Combinazioni lineari. Sistemi linearmente indipendenti e di generatori. Lemma di Steinitz. Basi. Dimensione. Componenti. Base standard di uno spazio numerico. Sottospazi; intersezione, somma e somma diretta. Formula di Grassmann. Orientazione. Prodotto vettoriale di vettori liberi. Dipendenza lineare per vettori numerici. Rango. Teorema degli orlati.

Applicazioni lineari

Definizione e proprietà elementari delle applicazioni lineari; esempi, coordinazione rispetto ad una base. Isomorfismi. Nucleo e immagine. Formula dimensionale. Applicazioni lineari tra vettori numerici. Matrice associata ad un'applicazione lineare. Cambio di base. Endomorfismi. Matrici diagonali e triangolari. Autovalori ed autovettori. Polinomio caratteristico. Molteplicità geometrica e molteplicità algebrica di un autovalore. Diagonalizzazione di endomorfismi e matrici (teorema spettrale). Definizione delle applicazioni bilineari. Forme quadratiche. Spazi vettoriali euclidei.

Sistemi lineari

Equazioni lineari. Sistemi lineari. Forma matriciale dei sistemi lineari. Teorema di Rouché-Capelli. Sistema omogeneo associato. Regola di Cramer. Metodo generale di risoluzione dei sistemi lineari. Cenni sul metodo di Gauss. Calcolo di una base per lo spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo.

Geometria analitica

Spazi affini. Riferimenti. Cambio di riferimento. Rappresentazioni parametriche e cartesiane di rette in un piano e di rette e piani in uno spazio tridimensionale. Condizioni di parallelismo. Relazione tra prodotto scalare geometrico e numerico. Componenti di un prodotto vettoriale. Formula per il modulo di un vettore libero. Distanza tra due punti. Coseni direttori. Ortogonalità per rette e piani. Condizioni di ortogonalità. Coniche. Cenni sulle quadriche.