Istituzioni di matematica 2

Preliminari e algebra lineare

Numeri complessi. Definizione, operazioni, forma algebrica ed esponenziale. Potenza di un numero complesso. Algebra lineare: Vettori nel piano e nello spazio tridimensionale: rappresentazione, operazioni,indipendenza lineare e basi. Geometria dello spazio: rette e piani. Matrici: operazioni, determinante, rango, matrice inversa. Trasformazioni lineari. Sistemi algebrici lineari e metodo di Gauss. Autovalori e autovettori. Calcolo degli autovalori come radici del polinomio caretteristico (c.d.). Criterio di diagonalizzabilità per matrici. Diagonalizzabilità delle matrici simmetriche.

Serie numeriche

La serie geometrica. Calcolo della somma della serie geometrica (c.d.). La serie armonica. La serie armonica è divergente (c.d.). Definizione di serie e condizione necessaria di convergenza. Serie armonica generalizzata. Criteri di convergenza per serie a termini positivi: dell'integrale, del confronto, della radice e del rapporto. Serie con termini di segno variabile: criterio della convergenza assoluta. Serie con termini a segno alterno: criterio di Leibnitz (cenni sulla dimostrazione).

Serie di potenze e serie di Taylor

Raggio di convergenza di una serie di potenze: teorema di D'alembert (criterio del rapporto, c.d.) e di Cauchy-Hadamard (criterio della radice). Teorema di derivazione per serie di potenze. Infinita differenziabilità della somma di una serie di potenze convergente e relazione fra derivata k-esima nel centro e coefficienti. Teorema di integrazione per serie di potenze. Esempi. Serie di Taylor di una funzione infinitamente differenziabile. Serie di Taylor notevoli. Costruzione di serie di Taylor per derivazione, integrazione o manipolazione algebrica di serie note: esempi ed esercizi.

Serie di Fourier di funzioni periodiche

Funzioni continue a tratti e C^1 a tratti. Funzioni periodiche. Polinomi trigonometrici. Coefficienti di Fourier di una serie trigonometrica convergente (c.d.). Serie trigonometrica (di Fourier) associata a una funzione periodica. Criteri di convergenza puntuale e uniforme per serie di Fourier. Esempi ed eserciz

Equazioni differenziali ordinarie

Definizione e primi esempi. Problema di Cauchy.

Equazioni differenziali lineari

Equazioni differenziali lineari del prim'ordine. Metodo del fattore integrante e formula di soluzione (c.d.). Equazioni differenziali lineari del second'ordine a coefficienti costanti: equazione caratteristica e soluzione generale dell'equazione omogenea (c.d.). Soluzione particolare col metodo della variazione delle costanti. Esempi ed esercizi.

Equazioni differenziali nonlineari del prim'ordine

equazionedi Bernoulli. Esempi ed esercizi

Limiti e continuità

Limiti di funzioni di più variabili: definizione ed esempi. Calcolo di limiti con criterio di confronto. Esempi di non esistenza del limite. Funzioni continue: definizione, proprietà, esempi.

Derivate

Definizione di derivata parziale ed esempi. Gradiente. Esempi di funzioni parzialmente derivabili ma non continue. Derivate di ordine superiore. Matrice Hessiana. Teorema di Schwarz sullo scambio dell'ordine di derivazione. Derivate direzionali.

Differenziabilità

Definizione e interpretazione geomerica: piano tangente al grafico di una funzione. Continuità delle funzioni differenziabili (c.d). Esempi di funzioni continue e derivabili parzialmente, ma non differenziabili. Formula per la derivata direzionale di una funzione differenziabile (c.d.). Teorema del differenziale totale. Applicazioni. Derivate di funzioni composte. Polinomio di Taylor del second'ordine associato ad una funzione 2 volte differenziabile.

Estremi locali

Massimi e minimi locali: definizione. Punti stazionari di una funzione differenziabile. Punti di sella. Condizione necessaria di estremalità del prim'ordine (c.d.). Condizioni sufficienti del second'ordine perchè un punto stazionario sia minimo locale/massimo locale/punto di sella (c.d.). Esempi ed esercizi.

Curve e integrali curvilinei

Curve in forma parametrica. Curve semplici, curve chiuse, curve regolari. Vettore tangente a una curva. Esempi nel piano e nello spazio. Il grafico di una funzione di una variabile è una curva piana regolare. Lunghezza di una curva (cenni sulla dimostrazione). Integrale curvilineo di una funzione scalare. Lavoro di un campo vettoriale lungo una curva.

Integrazione in più variabili

Integrali doppi:significato geometrico Domini normali nel piano. Area di domini normali. Formula di riduzione per gli integrali doppi su domini normali. Esempi e applicazioni. La formula di Gauss-Green, e il teorema della divergenza nel piano. Campi conservativi. I gradienti sono campi conservativi (c.d.) Integrali tripli: formula di riduzione. Cambiamento di variabili negli integrali multipli. Esempi ed esercizi. Coordinate polari, cilindriche, sferiche,e loro utilizzo nell'integrazione. Formula per il calcolo del Volume di solidi di rotazione (c.d.).