Matematica 1 per chimica

TEORIA DEGLI INSIEMI

Operazioni sugli insiemi; funzioni. Cenni di logica elementare.

NUMERI REALI

Gli assiomi del sistema dei numeri reali; insiemi separati e contigui e teorema di caratterizzazione; densità di Q in R (s.d.); radice n-ma (s.d.); potenza con esponente reale (s.d.). Estremo superiore, estremo inferiore, massimo, minimo.

NUMERI COMPLESSI

Definizione e proprietà. Operazioni di somma e prodotto. Forma algebrica e forma trigonometrica. Potenze e radici di un numero complesso.

SUCCESSIONI

Limite di una successione. Teoremi di unicità del limite, del confronto, della permanenza del segno. Operazioni con i limiti (s.d.) e forme indeterminate. Limitatezza delle successioni convergenti. Successioni monotone: teorema di regolarità; il numero e (s.d.).

FUNZIONI

Cenni di topologia della retta reale. Teorema di Bolzano (s.d.). Limiti di funzioni. Teorema ponte (s.d.). Teoremi di unicità del limite, del confronto (s.d.), della permanenza del segno (s.d.). Operazioni con i limiti (s.d.) e forme indeterminate. Funzioni monotone: teorema di regolarità (s.d.); funzioni continue; funzioni inverse; funzioni composte. Limite di una funzione composta (s.d.). Estremi assoluti: teorema di Weierstrass (s.d.). Teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi.

CALCOLO DIFFERENZIALE

Definizione di derivata e suo significato geometrico. Regole di derivazione; derivate delle funzioni elementari. Estremi relativi: condizione necessaria del prim’ordine. Teorema di Lagrange; caratterizzazione delle funzioni monotone in intervalli. Estremi relativi: condizioni sufficienti del prim’ordine (s.d.). Teoremi di de L’Hopital (s.d.); calcolo di limiti che si presentano in forma indeterminata. Convessità, concavità di una funzione in un intervallo; proprietà delle funzioni convesse, concave (s.d.); flessi; asintoti; grafici di funzioni.

CALCOLO INTEGRALE

Primitive ed integrazione indefinita. Regole di integrazione indefinita: decomposizione in somma, integrazione per parti, integrazione per sostituzione, integrazione di funzioni razionali. Cenni sulla misura secondo Peano-Jordan. Area del rettangoloide. Integrale di Riemann di una funzione limitata in un intervallo compatto. Integrabilità delle funzioni continue in intervalli compatti (s.d.). Integrabilità delle funzioni monotone in intervalli compatti. Proprietà dell’integrale definito. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Funzioni integrali.

ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE

Matrici e vettori. Operazioni con le matrici, operazioni con i vettori. Determinante di una matrice quadrata, proprietà, teorema di Binet (s.d.). Matrice inversa. Teorema di invertibilità di una matrice quadrata (s.d.). Minori di una matrice, rango di una matrice. Sistemi lineari. Teorema di Rouchè-Capelli (s.d.). Sistemi triangolari: metodo della back-substitution. Sistemi quadrati: metodo di Gauss, metodo di Cramer.