Matematica 1 per chimica industriale

Elementi di teoria degli insiemi

sottoinsiemi ed operazioni. Funzioni: applicazioni iniettive, suriettive, biunivoche, applicazioni composte, inverse, restrizioni e prolungamenti. Insiemi numerici: i numeri naturali, interi, razionali e reali. Il valore assoluto. Gli intervalli di R. R ampliato. Sistemi di riferimento cartesiani sulla retta e nel piano.

Funzioni numeriche

monotone, pari, dispari e periodiche. Funzioni limitate. Estremo inferiore e superiore. Massimi e minimi di una funzione. Il grafico di una funzione numerica. Le funzioni elementari: la funzione potenza n-ma e la funzione radice, la funzione esponenziale e logaritmica, la funzione potenza con esponente reale, le funzioni trigonometriche e le funzioni trigonometriche inverse. Equazioni e disequazioni. Insiemi di definizione.

Il limite di una funzione

Punti di accumulazione. Limite, limite destro e limite sinistro. Teorema della permanenza del segno, teoremi di confronto. Operazioni sui limiti e forme indeterminate. Limite di una funzione composta (s.d.). Limiti notevoli. Asintoti.

Funzioni continue

Continuità della somma, del prodotto, del rapporto e della funzione composta. Continuità delle funzioni elementari. Teorema di Weierstrass (s.d.) e teorema degli zeri (s.d), teorema dei valori intermedi. Discontinuità eliminabile, di prima specie e di seconda specie

Calcolo differenziale

Definizione di derivata e suo significato geometrico. Continuità delle funzioni derivabili. Regole di derivazione della somma, del prodotto, del rapporto. Derivata di una funzione composta (s.d.). Le derivate delle funzione elementari. Derivate successive. Derivata destra e sinistra. Massimi e minimi relativi. il teorema di Fermat.Teorema di Rolle e di Lagrange e conseguenze. Funzioni monotone e derivabili, criteri di monotonia e di stretta monotonia: condizioni necessarie e sufficienti. Derivate successive. Funzioni convesse e concave. Punti di flesso. I teoremi di de L'Hospital (s.d.) e relative applicazioni. Condizione sufficiente perché un punto sia di massimo o minimo relativo o di flesso. Studio del grafico di una funzione.

Integrazione

Funzioni primitive. Integrazione indefinita. Integrazione definita. Proprietà e definizioni. Area del rettangoloide. Funzioni integrali. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Esistenza di una primitiva di una funzione continua. Metodi di integrazione per semplici trasformazioni e per decomposizione in somma.

Elementi di algebra lineare

Vettori numerici: la somma, il prodotto per un numero ed il prodotto scalare. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti ed indipendenti. Matrici e determinanti, definizioni e proprietà. Matrice trasposta, matrice diagonale, matrice simmetrica. Il rango di una matrice. Sistemi lineari: il teorema di Cramer e di Rochè-Capelli.