Matematica 2 per chimica industriale

Equazioni differenziali

Equazioni differenziali: definizioni e generalità. Integrale generale, integrale paricolare, curva integrale. Equazioni lineari omogenee e complete. Problema di valori iniziali, teorema di esistenza ed unicità (s.d.), significato geometrico. Relazione tra gli integrali generali dell’equazione completa e della equazione omogenea di un'equazione differenziale lineare di ordine n. Equazioni differenziali lineari del I e del II ordine: come si determina l’integrale generale. Funzioni linearmente dipendenti ed indipendenti. Il wronskiano. Condizione sufficiente perchè due funzioni deivabili siano linearmente indipendenti. Il metodo di Lagrange. Equazioni a coefficienti costanti e con termine noto di tipo particolare. Esempi di modelli matematici descritti da equazioni lineari del I ordine.

Elementi di geometria

Vettori nel piano e nello spazio. Operazioni: somma, differenza, prodotto scalare ed il prodotto per un numero. Condizioni di ortogonalità e di parallelismo tra vettori. Equazioni cartesiane e parametriche di una retta. Numeri direttori. Equazione del piano. Condizioni di parallelismo e di perpendicolarità tra rette e tra piani. Equazione della sfera e del cilindro.

Funzioni di più variabili parte 1

Lo spazio Rn: insiemi aperti, chiusi, limitati, connessi, intorni, punti interni, esterni, punti di accumulazione e di frontiera. Funzioni scalari e funzioni vettoriali. Grafico di una funzione e superfici cartesiane. Superfici di rotazione, superfici cilindriche, superfici rigate. Limite, continuità. Il teorema di Weistrass (s.d) ed il teorema dei valori intermedi (s.d.). Linee di livello. Derivate parziali e vettore gradiente. ll teorema di Schwartz (s.d). Le funzioni differenziabili. Il teorema del differenziale totale e sue coseguenze. Il piano tangente. La funzione composta e le sue derivate (s.d).

Funzioni di più variabili parte 2

La formula di Taylor con il resto di Lagrange e di Peano. Le approssimazioni di una funzione di una o più variabili. Serie di Taylor, serie esponenziale, serie geometriche. Funzioni con derivate parziali nulle. Derivate direzionali, significato geometrico e teorema relativo. Massimi e minimi relativi ed assoluti: la condizione necessaria del I ordine e del ii ordine (s.d.) e condizioni sufficienti (s.d)

Integrazione

Curve regolari e regolari a tratti. Lunghezze (s.d.), ascisse curvilinee e rappresentazioni parametriche. Curve in coordinate polari. Integrali curvilinei. Forme differenziali, differenziali esatti, campi conservativi e potenziali: condizioni necessarie e sufficienti. Integrale doppio, triplo ed in Rn e sue proprietà. Significato geometrico. Aree e volumi. Volume di un solido di rotazione. Baicentro. Formule di riduzione e passaggio a coordinate polari nel piano. Area di un settore polare. Formule di Gauss- Green, teorema della divergenza e formula di Stokes nel piano. Calcolo di aree di domini regolari.