Metodi matematici per ingegneria biomedica

Il campo complesso

Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale. Proprietà del modulo e dell’argomento. Formule di De Moivre e delle radici n-esime. Funzioni elementari nel campo complesso: esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche e iperboliche, potenza. Ampliamento del campo complesso. Funzioni complesse di variabile complessa, successioni e serie in campo complesso

Funzioni analitiche

Olomorfia e condizioni di Cauchy-Riemann . Funzioni armoniche. Serie di potenze nel campo complesso, proprietà della somma. Integrali curvilinei. Teorema e formule di Cauchy . Sviluppo in serie di Taylor . Zeri delle funzioni analitiche e principi di identità. Propriet`a di media e principio di massimo modulo. Sviluppo in serie di Laurent (c.d.). Classificazione delle singolarità isolate, olomorfia e singolarità all'infinito.

Residui e applicazioni

Teoremi dei residui . Calcolo dei residui nei poli. Funzioni integrabili, sommabili, integrali nel senso del valore principale secondo Cauchy, criteri di sommabilità. Sommabilità per funzioni di pi`u variabili. Cenni sull’integrale di Lebesgue. Calcolo di integrali definiti col metodo dei residui.

Z-trasformazione

Generalità sulle successioni, trasformazione e trasformazione inversa, proprietà della trasformazione, equazioni ricorrenti, problemi ai valori iniziali.

Elementi di analisi funzionale

Spazi di Lebesgue L 1 e L2. Norma, prodotto scalare. Generalità sui segnali. Polinomi trigonometrici, minimizzazione dello scarto quadratico (c.d.). Serie di Fourier esponenziale e trigonometrica, convergenza nel senso puntuale e nel senso dell'energia.

Trasformazione di Laplace

Trasformazione bilatera e unilatera. Esempi notevoli di trasformate. Proprietà fondamentali, comportamento asintotico e teoremi del valore iniziale e finale . Proprietà formali. Trasformata della convoluzione. Trasformata unilatera di segnali periodici . Antitrasformazione. Uso della trasformazione di Laplace nei modelli differenziali lineari.

Trasformazione di Fourier

Trasformazione di Fourier in L1 Esempi notevoli di trasformate. Inversione della trasformazione di Fourier. Proprietà formali. Le formule fondamentali. La trasformata di funzioni a decrescenza rapida. La trasformata della convoluzione.

Distribuzioni

Lo spazio delle funzioni test. Le distribuzioni, esempi notevoli: distribuzioni regolari, δ di Dirac, . Operazioni sulle distribuzioni. Derivata di distribuzioni. δ-successioni. Distribuzioni temperate, trasformata di Fourier, trasformata della δ , della costante , del gradino, del treno di impulsi . Trasformata di Fourier di segnali periodici

Problemi ai limiti

Equazioni autoaggiunte, la funzione di Green, il teorema dell’alternativa, il problema di Sturm-Liouville, ortogonalità, autofunzioni

Equazioni differenziali alle derivate parziali

Generalità. Equazioni di Laplace e Poisson, funzioni armoniche, problemi di Dirichlet e Neumann, risoluzione del problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace in un cerchio. Equazione del calore, problema di Cauchy nel semipiano . Equazione delle onde, problema di Cauchy nel semipiano , problema misto nella semistriscia.