Metodi matematici per ingegneria elettronica

Richiami sulla misura e l'integrazione

Insiemi misurabili . Insiemi di misura nulla. Funzioni integrabili e loro integrale. Funzioni sommabili e loro integrali. Interpretazione geometrica dell'integrale. Criteri di sommabilità. Integrali impropri. Integrali a valor principale secondo Cauchy.

Numeri complessi

Il campo dei numeri complessi. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi e piano di Gauss. Forma algebrica, forma trigonometrica e forma esponenziale di un numero complesso. Coniugato di un numero complesso e sue proprietà. Operazioni con i numeri complessi : somma, prodotto, rapporto. potenza, radice e formula di De Moivre.

Funzioni, successioni e serie nel campo complesso parte 1

Richiami di topologia del piano: intorni, aperti, chiusi, compatti, connesi, domini ,derivato e frontiera. Funzioni a valori complessi di una variabile reale o complessa. Limiti e continuità. Successioni e serie di numeri complessi e relativi criteri di convergenza. Successioni e serrie di funzioni a valori reali o complessi. Serie puntualmente e uniformemente convergenti. Criteri di convergenza per le serie di funzioni. Passaggio del limite sottto il segno di sommma. Derivadilità e integrabilità termine a termine di una serie di funzioni. Funzioni a quadrato sommabile. Disuguaglianza di Schwarz. Convergenza in media delle serie di funzioni. Serie di potenze nel campo reale o complesso.

Funzioni, successioni e serie nel campo complesso parte 2

Raggio e cerchio di convergenza di una serie di potenze. Ricerca del raggio di convergenza e terema di Cauchy-Hadamard. Serie di Taylor e e condizioni sufficienti per la sviluppabilità in serie di Taylor di una funzione. Svliluppi in serie di Taylor delle fuzioni elementari: esponenziale, seno, coseno, seno iperbolico, coseno iperbolico. Proprietà delle funzioni elementari. Il logaritmo e la radice nel campo complesso. Determinazioni principali della radice e del logaritmo. Punti di diramazione. Armoniche elementari, loro periodo, frequenza e frequenza angolare. Segnali periodici e segnali periodici regolari a tratti. Serie di Fourier di segnali periodici regolari a tratti e loro convergenza. Serie di Fourier di segnali a quadrato sommabile e loro convergenza nel senso dell'energia. Uguaglianza di Parseval e calcolo dell'energia di un segnale a quadrato sommabile.

Funzioni olomorfe parte 1

Derivabilità di una funzione complessa di una variabile complessa. Condizioni di Cauchy Riemann. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivate di ordine superiore. Derivazione termine a termine di una serie di potenze. L'integrale curvilineo nel campo complesso. Teorema e formula di Cauchy. Formula di Cauchy per le derivate di una funzione olomorfa. Analiticità dellle funzioni olomorfe e loro serie di Taylor. Singolarità isolate di una funzione olomorfa e loro classificazione.

Funzioni olomorfe parte 2

Sviluppo in serie di Laurent di una funzione olomorfa intorno ad una sua singolarità isolata. Zeri di una funzione olomorfa. Caratterizzazione degli zeri e delle singolarità isolate. Singolarità non isolate. Singolarità all'ifinito. Residuo di una funzione olomorfa nei suoi punti singolari isolati. Calcolo dei residui. Primo e secondo teorema sui residui. Calcolo degli integrali con la teoria dei residui. Lemmi di Jordan per il calcolo degli integrali. Teorema di Liouville. Funzioni armoniche e teorema del massimo modulo.

Distribuzioni

Concetto primitivo di distribuzione. Test funzioni e funzioni a decrescenza rapida. Funzionali. Funzionali lineari e continui. Distribuzioni, distribuzioni temperate, distribuzioni a supporto compatto. La delta di Dirac. Proprietà della delta di Dirac. Operazioni con le distribuzioni. Successioni e serie di distribuzioni. Il limite nel senso delle distribuzioni. Convergenza delle serie nel senso delle distribuzioni. Il treno di impulsi. Derivata nel senso delle distribuzioni. Derivate di segnali regolari a tratti. Convoluzioni nel senso delle funzioni e nel senso delle distribuzioni. Proprietà delle convoluzioni. Equazioni nel senso delle distribuzioni.

Trasformata di Fourier

Trasformata di Fourier e sua antritasformata nel senso delle funzinioni. Regolarità della funzione trasformata. Proprietà della trasformata di Fourier: linearità, traslazione, riscaldamento, coniugazione, realtà e parità, realtà e disparità . Trasformata di Fourier della derivata di una funzione e del prodotto di una funzione per un polinomio. Trasformata di Fourier di una convoluzione. Trasformata di Fourier e sua antitrasformata nel senso delle distribuzioni. Proprietà della trasformata di Fourier nel senso delle distribuzioni. Trasformata di Fourier di una convoluzione di distribuzioni. Trasformata di Fourier di funzioni e distribuzioni notevoli: trasformata della porta, trasformata della funzione scalino,trasformata della delta di Dirac, formula di Poisson e trasformata del treno di impulsi, trasformata di un segnale periodico, trasformata di segnali campionati.

Trasformata di Laplace

Trasformata di laplace nel senso delle funzioni e nel senso delle distribuzioni. Dominio della trasformata di Laplace e regolarità della funzione trasformata. Antitrasformata di Laplace. Trasformata unilatera di Laplace. Proprietà della trasformata di Laplace: linearità, traslazione, riscaldamento, coniugazione, realtà ed hermitianità. Trasformata della derivata di una funzione e di una distribuzione. Trasformata del prodotto di una funzione e di una distribuzione per un polinomio. Trasformata di una convoluzione.Trasformate notevoli. Trasformata unilatera di un segnale periodico. Teorema del valore iniziale e finale. Applicazione della trasformata di Laplace alla risoluzione delle equazioni differenziali.

Trasformata Zeta

Trasformata zeta di una successione sugli interi relativi. Regolarità della funzione trasformata. Successioni zeta trasformabili. Antitrasformata zeta e suo calcolo. Proprietà della trasformata zeta. Trasformata di convoluzioni di successioni. Trasformata zeta unilatera. Trasformata di successioni notevoli.

Equazioni differenziali ordinarie

Equazioni differenziali lineari con termine noto non continuo. Risoluzione dell'equazioni lineari a coefficienti costanti usando la trasformata di Laplace. Soluzione fondamentale per equazioni differenziali. Calcolo di una soluzione fondamentale per le equazioni differenziali lineari. Risoluzioni di equazioni differenziali lineari con termine noto una distribuzione . Problemi ai limiti per equazioni differenziali del secondo ordine ben posti. Calcolo della funzione di Green per problemi ai limiti di equazioni differenziali lineari del secondo ordine ben posti. Risoluzione di problemi ai limiti ben posti con termine noto una distribuzione. Problemi di Sturm-Liouville.

Equazioni alle derivate parziali

Equazione del calore in due variabili. Problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore in una semistriscia e calcolo di una soluzione con il metodo della separazione delle variabili. Problema di Cauchy in un semipiano per l'equazione del calore e calcolo di una soluzione facendo uso della trasformata di Fourier. Problema del Dirichlet per l'equazione di Laplace in due variabili in un cerchio. Calcolo della formula di Poisson. Problema del Dirichlet per l'equazione di Laplace in un rettangolo e calcolo di una soluzione con il metodo della separazione delle variabili. Equazione delle onde in due variabili. Problema di Cauchy-Dirichlet in una semistriscia per l'equazione delle onde e cenni sul calcolo di una soluzione usando il metodo della separazione delle variabili. Problema di Cauchy in un semipiano per l'equazione delle onde e calcolo di una soluzione usando la trasformata di Fourier e Laplace