Teoria dei segnali per ingegneria del'automazione

Segnali e sistemi: introduzione

Definizione di segnale. Definizione di sistema. Segnali deterministici e aleatori. Classificazione elementare dei segnali (proprietà della variabile indipendente e dipendente, segnali TC e TD, segnali analogici e digitali). Classificazione elementare dei sistemi.

Proprietà dei segnali

Operazioni elementari sui segnali (trasformazioni della variabile dipendente e indipendente, combinazione di operazioni elementari, derivazione ed integrazione corrente, differenza e somma corrente). Caratterizzazione sintetica nel dominio del tempo. Estensione e durata temporale di un segnale (segnali di durata rigorosamente e praticamente limitata, segnali di durata non limitata e segnali periodici). Area e media temporale (componente continua e alternata). Energia (segnali di energia, energia mutua). Potenza e valore efficace (segnali di potenza, relazioni tra segnali di energia e di potenza, potenza mutua). Misura in dB della potenza e dell'energia.

Proprietà dei sistemi

Relazione ingresso-uscita (i-u). Interconnessione di sistemi (serie, parallelo, retroazione). Proprietà di un sistema (istantaneità, causalità, invertibilità, invarianza temporale, stabilità, linearità).

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

Relazione i-u di un sistema LTI e risposta impulsiva. Convoluzione (proprietà della convoluzione). Risposta al gradino. Proprietà della risposta impulsiva (istantaneità, causalità, stabilità). Risposta in frequenza di un sistema LTI (risposta ad un fasore e ad una sinusoide).

Serie di Fourier e DFS

Serie di Fourier (FS) a TC. Cenni sulle condizioni per la convergenza della FS. Serie di Fourier per segnali TD (DFS). Principali proprietà della FS e della DFS (linearità, simmetria hermitiana, uguaglianza di Parseval). Risposta di un sistema LTI ad un segnale periodico. Selettività in frequenza di un sistema LTI. Filtri ideali.

Trasformata di Fourier parte 1

Trasformata di Fourier (FT) per segnali TC e TD. Proprietà elementari della FT (linearità, simmetria hermitiana, dualità a TC, valore nell'origine). Relazione i-u di un sistema LTI nel dominio della frequenza (proprietà di convoluzione della FT). Caratterizzazione sintetica nel dominio della frequenza. Estensione spettrale e banda di un segnale (segnali a banda rigorosamente e praticamente limitata, segnali a banda non limitata). Banda passante e banda di un sistema LTI (sistemi a banda rigorosamente e praticamente limitata, sistemi a banda non limitata). Studio dell’interconnessione di sistemi LTI nel dominio della frequenza.

Trasformata di Fourier parte 2

Esistenza ed invertibilità della FT per segnali TC e TD (segnali transitori e persistenti). Proprietà della FT: trasformazioni della variabile dipendente ed indipendente; derivazione ed integrazione corrente, differenza e somma corrente. FT di un segnale periodico (estensione spettrale e banda di un segnale periodico, relazione tra FS e FT, campionamento in frequenza (solo nel caso TC). Proprietà della risposta in frequenza di un sistema LTI (istantaneità, stabilità, causalità, invertibilità). Filtri reali.

Campionamento e conversione A/D e D/A

Campionamento ed interpolazione ideale. Teorema del campionamento (frequenza di Nyquist, serie di Shannon). Interpolazione ideale. Aliasing. Campionamento ed interpolazione in pratica. Quantizzazione.

Elementi di teoria della probabilità e delle variabili aleatorie parte 1

Spazi di probabilità. Assiomi di Kolmogorov. Esempi di spazi di probabilità. Probabilità condizionale. Regola della catena. Teorema della probabilità totale. Teorema di Bayes. Indipendenza statistica. Variabili aleatorie. Funzione di distribuzione cumulativa (CDF) e sue proprietà. Variabili aleatorie continue, discrete, miste. Funzione di densità di probabilità (pdf) e sue proprietà. Funzione DF e sue proprietà. Variabile aleatoria di Bernoulli, binomiale, uniforme, gaussiana, esponenziale. La funzione G(x). Media di una variabile aleatoria e proprietà di linearità. Teorema fondamentale della media. Varianza e deviazione standard. Varianza di Y=aX +b. Valore quadratico medio. Disuguaglianza di Chebishev. Coppie di variabili aleatorie. CDF, pdf, DF congiunta e loro proprietà.

Elementi di teoria della probabilità e delle variabili aleatorie parte 2

Statistiche congiunte e marginali. Coppie di variabili aleatorie congiuntemente gaussiane. Coppie di variabili aleatorie indipendenti. Teorema fondamentale della media per una coppia di variabili aleatorie. Momenti congiunti di una coppia di variabili aleatorie. Correlazione, covarianza, coefficiente di correlazione e proprietà. Incorrelazione di una coppia di variabili aleatorie. Vettori di variabili aleatorie. Caratterizzazione statistica (CDF, pdf, DF e proprietà). Variabili aleatorie indipendenti. Vettore delle medie. Matrice di correlazione/covarianza e proprietà. Incorrelazione. Vettore di variabili aleatorie congiuntemente gaussiane.

Segnali aleatori

Definizione. Caratterizzazione statistica (del primo ordine, del secondo ordine, di ordine N, completa, sintetica). Esempi (processo di Bernoulli/segnale iid, sinusoide a fase aleatoria, segnale NRZ/RZ). Stazionarietà (del primo ordine, del secondo ordine, di ordine N, in senso stretto, in senso lato). Autocorrelazione media.