Analisi matematica ii per ingegneria meccanica

SUCCESSIONI E SERIE

Successioni di funzioni: convergenza puntuale e uniforme. I primi teoremi sulla convergenza uniforme. I teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata. Serie di funzioni. Serie di potenze. Serie di Taylor. Sviluppi in serie notevoli.

FUNZIONI IN R-N

Richiami di topologia in Rn. Limiti e continuità. Derivate parziali. Derivate successive. Il teorema di Schwarz. Gradiente. Differenziabilità. Funzioni composte. Derivate direzionali. Funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso. Funzioni omogenee. Funzioni definite mediante integrali. Formula di Taylor (escluso i differenziali di ordine superiore). Massimi e minimi relativi (solo dim. in 2 var.). Funzioni a valori vettoriali (sd).

CURVE

Curve regolari. Curve orientate. Lunghezza di una curva. Integrale curvilineo di una funzione. Curvatura di una curva piana. Il prodotto vettoriali in R3 (sd). Curve biregolari in R3. Curve in R3: torsione (sd ed escluso il triedro fondamentale).

FORME DIFFERENZIALI IN R-N

Forme differenziali lineari. Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare. Forme differenziali esatte. Forme differenziali esatte nel piano. Aperti semplicemente connessi in R2. Forme differenziali nello spazio.

CAMPI E RELATIVI TEOREMI

Campi vettoriali. Lavoro. Campi conservativi. Campi irrotazionali. Teorema della divergenza. Formula di Stokes.

CALCOLO INTEGRALE IN R-N

Integrali doppi su domini normali. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Formule di Gauss-Green. Cambiamento di variabili negli integrali doppi (sd). Integrali tripli (sd). SUPERFICI IN R-N. Superfici regolari. Coordinate locali e cambiamento di parametro. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie (sd). Integrale di superficie. Superfici orientabili. Superfici con bordo. Integrali di superficie.

FUNZIONI IMPLICITE

Il Teorema del Dini per le equazioni (tranne la dimostrazione del teorema del Dini per funzioni di più variabili). Il teorema del Dini per i sistemi (sd). Massimi e minimi vincolati. Moltiplicatori di Lagrange (sd).

Equazioni differenziali ordinarie parte 1

Equazioni differenziali ordinarie (EDO): esempi notevoli e motivazioni applicative legate a modelli fisici e biologici. EDO di ordine n: definizione di soluzione, forma normale. Richiami sulle funzioni Lipschitziane e teorema di esistenza e unicità locale (s.d.) con esempi e controesempi. Cenni relativi al teorema di Peano (s.d.) con controesempi. Teorema di esistenza e unicità in grande (s.d.) e prolungabilità della soluzione. Integrali di una EDO: integrali generali, particolari, singolari. EDO lineari: esistenza e unicità in grande della soluzione. EDO lineari del primo ordine: integrale generale delle omogenee e delle complete. EDO del primo ordine: equazioni a variabili separabili, equazioni omogenee, equazione di Bernoulli.

Equazioni differenziali ordinarie parte 2

Equazioni differenziali lineari di ordine n: introduzione alla ricerca delle soluzioni dell’EDO lineari omogenee come nuclei di applicazione lineari, integrale generale dell'equazione omogenea, teorema del Wronskiano (s.d.), integrale generale dell'equazione completa. EDO lineari omogenee a coefficienti costanti. EDO lineari complete e ricerca di un’integrale particolare: metodo della variazione delle costanti, caso di termini noti speciali in presenza di coefficienti costanti. Alcune applicazioni delle EDO lineari: equazioni di Eulero lineare.