Matematica e statistica per scienze biologiche

PARTE 1

Concetti introduttivi: numeri, successioni numeriche e serie.Cenni di logica. Numeri naturali, interi, razionali e reali. Principio di induzione. Successioni numeriche. Il concetto di limite. Proprietà dei limiti: limite della somma, del prodotto, della differenza e del rapporto. Criteri di convergenza. Elementi di teoria degli insiemi e di calcolo combinatorioInsiemi, sottoinsiemi, insieme delle parti. Funzioni e graficiFunzioni limitate, periodiche, simmetriche e monotonia. Massimi, minimi, punti di massimo e minimo. Funzioni e grafici di funzioni: dominio, immagine e funzioni inverse. Funzioni elementari e loro inverse: potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche. Limiti di funzioni e proprietà. Infiniti, infinitesimi e stime asintotiche. Continuità e principali teoremi, zeri, valori intermedi, Weierstrass.Calcolo differenziale

PARTE 2

Retta tangente a una curva e derivata di una funzione. Funzione derivata e derivate delle funzioni elementari. Teorema di Fermat e conseguenze. Teorema di Lagrange. Criteri di monotonia Ricerca di massimi e minimi. Derivate di ordine superiore: derivata seconda e convessità. Studio di funzione.Calcolo integraleIntegrale definito: significato geometrico e teorema della media. Integrazione secondo Riemann e proprietà. Integrale indefinito: funzione integrale e teorema fondamentale del calcolo integrale; primitive e caratterizzazione. Calcolo delle primitive: metodi di integrazione. Funzioni integrabili in senso generalizzato. Elementi di algebra lineare: vettori e matriciVettori nel piano: somma e differenza tra vettori; prodotto per uno scalare; prodotto scalare tra vettori;

PARTE 3

norme e disuguaglianze notevoli. Vettori nello spazio e vettori in Rn . Prodotto vettoriale e prodotto misto.Matrici.: definizioni e operazioni elementari. Matrici quadrate, simmetriche, diagonali e triangolari. Matrice trasposta. Prodotto tra matrici.Matrice inversa. Determinante di una matrice. Sviluppo di Laplace e regola di Sarrus. Minore complementare e complemento algebrico: rango di una matrice. Risoluzione diun sistema di equazioni lineari: regola di Cramer. Autovalori e Autovettori.Calcolo delle probabilitàDefinizione intuitiva di probabilità. Legge empirica del caso.

PARTE 4

Frequenza relativa di successo. Cenni di teoria assiomatica di probabilità: algebra degli eventi e definizione formale di probabilità. Evento certo ed evento impossibile. Intersezione ed unione di eventi. Eventi complementari e mutuamente esclusivi. Il teorema delle probabilità totale. Esperimenti congiunti. Probabilità condizionata. Il teorema di Bayes. Eventi indipendenti. Variabili casuali. Variabili discrete e continue. Le principali distribuzioni di probabilità: binomiale, uniforme, esponenziale, Gaussiana, Gaussiana standard e di Poisson. Parametri di una distribuzione: media, varianza e deviazione standard. Calcolo di media, varianza e deviazione standard per le principali distribuzioni. Statistica bivariata. Esperimenti congiunti. Covarianza e coefficiente di correlazione: definizioni e proprietà.

PARTE 5

Legge dei grandi numeri Popolazioni e campioni. Campionamento statistico e stimatori. Caratteristiche di un buon stimatore: definizione di stimatore corretto; definizione di stimatore consistente. Teorema centrale della statistica. Statistica descrittiva. Indice di posizione e variabilità.Equazioni e Modelli Definizione di equazione differenziale. Metodi ad hoc per la risoluzione di equazioni differenziali lineari del primo ordine. Metodo di separazione delle variabili. Risoluzione di equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti del secondo ordine. Modelli di dinamica delle popolazioni. Modelli matematici di cinetica chimica e di biologia.