Metodi matematici per ingegneria elettrica

PARTE 1

Numeri complessi. Forma algebrica, trigonometrica,esponenziale. Proprieta' del modulo e dell'argomento. Formule di DeMoivre e delle radici -esime. Funzioni elementari nel campo dei numeri complessi: esponenziale, seno e coseno, seno e cosenoiperbolici, logaritmo, potenza. Successioni e serie nel campo deinumeri complessi. Serie di potenze: raggio di convergenza e proprieta', derivazione termine a termine.

PARTE 2

Funzioni analitiche. Olomorfia e condizioni di Cauchy-Riemann. Integrali di linea di funzioni di variabile complessa. Teorema e formule di Cauchy. Sviluppo in serie di Taylor.Sviluppo in serie di Laurent. Zeri delle funzioni analitiche e principi di identita'. Classificazione delle singolarit\`a isolate. Teorema di Liouville. Integrazione. Cenni sulla misura e sull'integrale di Lebesgue. Funzioni sommabili. Teoremi di passaggio allimite sotto il segno di integrale. Integrali nel senso del valore principale secondo Cauchy. Spazi di funzioni sommabili

PARTE 3

Teorema dei residui.Calcolo dei residui nei poli. Calcolo di integrali col metodo dei residui. Lemmi di Jordan. Scomposizione in fratti semplici. Equazioni alle differenze. -trasformata: definizione e proprieta'. -antitrasformata. Successioni definite per ricorrenza. Generalità sui segnali. Segnali periodici. Convoluzione. Trasformazione di Laplace. Definizione e dominio della trasformata bilatera di Laplace. Analiticità e comportamento all'infinito. Esempi notevoli di trasformata di Laplace. Proprietà formali della trasformata di Laplace. Trasformata unilatera di Laplace e proprietà. Teoremi del valore iniziale e finale. Antitrasformata Uso della trasformata di Laplace nei modellidifferenziali lineari.

PARTE 4

Cenni su spazi di Banach e di Hilbert. Energia di un segnale periodico. Polinomi trigonometrici. Serie di Fourier esponenziale etrigonometrica. Convergenza nel senso puntuale e nel senso dell'energia .Trasformazione di Fourier. Definizione di trasformata di Fourier. Proprieta' formali della trasformata diFourier. Antitrasformata. Distribuzioni. \rm Funzionali lineari. Limiti nel senso delle distribuzioni. Derivata nel senso delle distribuzioni. Regole di derivazione. Esempi notevoli: delta di Dirac,

PARTE 5

Convoluzione di distribuzioni. Spazio delle funzioni a decrescenza rapida e relativa topologia. Distribuzioni temperate e funzioni a crescita lenta. Trasformata di Fourier di distribuzioni temperate. Trasformata di Fourier della delta di Dirac, del treno di impulsi . Trasformata di Fourier di segnali periodiciEquazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali. La trasformata di Fourier e l'equazione del calore. L'equazione delle onde: corda vibrante e membrana elastica. Il metodo della separazione delle variabili nel caso unidimensionale e nel caso bidimensionale del rettangolo.