Metodi matematici per l’economia per economia e commercio

Introduzione al corso

strumenti matematici per la costruzione di modelli economici, esempi di problemi di scelta ottima: il modello del consumatore; relazioni tra gli elementi di un insieme, funzioni, funzioni di utilità

Elementi di teoria degli insiemi e di geometria analitica (richiami)

insiemi, sottoinsiemi, rappresentazione di insiemi, appartenenza, inclusione, intersezione, unione, complementare, prodotto cartesiano, insieme delle parti. Insiemi numerici: I numeri naturali, relativi, razionali, irrazionali, reali, rappresentazione decimale, rappresentazione dei numeri reali sulla retta, densità dei razionali sulla retta, intervalli, valore assoluto di un numero reale, disuguaglianze con il valore assoluto, massimo e minimo di un insieme, estremo superiore ed inferiore, insiemi limitati e non, ampliamento di R, potenze e radici n-me, equazioni e disequazioni di primo e secondo grado. Piano e coordinate cartesiane, distanza di due punti, equazione di un luogo geometrico, della retta, della circonferenza, della parabola, fascio di rette, equazione della retta per due punti, rette parallele e rette perpendicolari, distanza di un punto da una retta, intersezione di rette.

Lo spazio Rn

vettori, operazioni con in vettori (somma, prodotto per uno scalare, prodotto scalare, combinazioni lineari di vettori). Equazione parametrica della retta in Rn, equazione del segmento, insieme convesso. Risoluzione di disequazioni lineari in due variabili, convessità delle soluzioni di una disequazione lineare (con dimostrazione).

Calcolo differenziale (in una e due variabili)

funzioni, grafico e rappresentazione grafica, funzioni invertibili, funzioni lineari e lineari affini, funzioni quadratiche e quadratiche inverse (parabola, iperbole), funzioni elementari (funzione potenza, esponenziale, logaritmica, valore assoluto); disequazioni con le funzioni elementari, funzioni composte, dominio di una funzione composta, funzioni monotone; funzioni convesse. Funzioni in due variabili: dominio, grafico, linee di livello, curve di indifferenza.

Calcolo differenziale (in una e due variabili) parte 1

Comportamento asintotico delle funzioni elementari negli estremi, definizione generale di limite, funzioni regolari, convergenti, divergenti in un punto, teorema di unicità del limite (con dimostrazione), funzioni continue, continuità delle funzioni elementari (con dimostrazione), continuità delle funzioni composte da funzioni elementari; esempi di funzioni non continue; operazioni con i limiti e forme indeterminate, limiti di polinomi, del rapporto di polinomi e limiti di funzioni composte negli estremi, definizione di intorno e limiti di funzioni in più variabili, teorema della permanenza del segno locale, Teorema di Bolzano per una funzione continua in una variabile, Teorema di Bolzano per una funzione continua in due variabili; teorema della permanenza del segno globale, uso del teorema della permanenza del segno nella risoluzione delle disequazioni.

Calcolo differenziale (in una e due variabili) parte 2

Funzione rapporto incrementale e sua interpretazione geometrica, rapporto incrementale e monotonia (con dimostrazione), derivata e suo significato geometrico; equazione della retta tangente, tabella delle derivate, operazioni con le derivate, derivate di funzioni composte, continuità delle funzioni derivabili in un punto (con dimostrazione), esempio di funzione continua ma non derivabile, segno della derivata e monotonia, determinazione del condominio; studio del grafico delle funzioni in una variabile; differenziale e suo significato geometrico; approssimazione locale di una funzione derivabile in un punto con la retta tangente (con dimostrazione),

Calcolo differenziale (in una e due variabili) parte 3

applicazione al calcolo dei limiti in forma indeterminata (teorema di de l’Hopital), derivate parziali: definizione e calcolo; derivate parziali e continuità. Massimi e minimi relativi ed assoluti: Teorema di Weierstrass; Teorema di Fermat in una e due variabili (con dimostrazioni), condizioni necessarie del primo ordine per la determinazioni di massimi e minimi; condizioni di ottimalità nel caso convesso, soluzione di problemi di ottimizzazione libera e vincolata: esempi (il problema del consumatore, ottimizzazione del profitto e fattori di produzione).

Matrici e sistemi lineari

matrici, operazioni con matrici e loro proprietà, matrice unitaria, inversa di una matrice quadrata, unicità dell’inversa (con dimostrazione), operazioni elementari sulle linee di una matrice; Sistema di m equazioni lineari in n incognite, sistemi omogenei, matrici associate ad un sistema, metodo di risoluzione di Gauss; determinante di una matrice quadrata, proprietà dei determinanti (con dimostrazione), matrici invertibili e determinanti (con dimostrazione), formula dell’inversa, inversa e formula risolutiva di un sistema quadrato con determinante diverso da zero, il caso dei sistemi omogenei, il metodo di Cramer. Rango, rango di una matrice invertibile (con dimostrazione), teorema degli orlati, metodo di Rouché-Capelli. Sistemi lineari con parametro: discussione della compatibilità.