Matematica per viticoltura ed enologia

Preliminari

Numeri naturali, relativi, razionali e reali. Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore. Intervalli, intorni. Equazione cartesiana di una retta del piano, perpendicolarità e parallelismo tra rette.

Funzioni di una variabile

Insieme di definizione, immagine, grafico, funzioni limitate, simmetriche, monotone, periodiche, funzioni composte ed inverse. Funzioni elementari: valore assoluto, potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche (funzione seno, coseno, tangente), funzioni trigonometriche inverse (funzione arcoseno, arcocoseno, arcotangente).

Limiti di funzioni

Definizione di limite, limite destro e sinistro. Teorema di unicità del limite, teorema della permanenza del segno, teorema del confronto, operazioni algebriche con i limiti, limite di funzioni composte, forme indeterminate. Limiti di funzioni razionali, limiti di funzioni razionali fratte, limiti notevoli, gerarchie degli infiniti. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui.

Funzioni continue

Funzioni continue. Operazioni algebriche con le funzioni continue e composizione di funzioni continue. Conseguenze della continuità in intervalli chiusi e limitati: teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi, teorema di esistenza degli zeri.

Derivate

Definizione e significato geometrico della derivata di una funzione in un punto. Derivata destra e derivata sinistra. Retta tangente. Punti angolosi, cuspidi e flessi a tangente verticale. Derivabilità e continuità di una funzione. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni, derivata di un prodotto, derivata di un rapporto; derivata delle funzioni composte e derivata delle funzioni inverse. Applicazione delle derivate al calcolo dei limiti: teorema di l’Hôpital

Applicazioni delle derivate. Studio di funzioni

Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Funzioni crescenti e decrescenti: criterio di monotonia. Funzioni con derivata nulla in un intervallo. Funzioni convesse e concave; criterio di convessità. Flessi. Studio del grafico di una funzione

Integrali Definiti

Rettangoloide relativo ad una funzione continua e positiva in un intervallo chiuso e limitato. Definizione di integrale definito di una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato. Proprietà degli integrali definiti. Teorema della media. Area del rettangoloide relativo ad una funzione non negativa.

Integrali Indefiniti

Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive. Caratterizzazione dell’insieme delle primitive di una funzione continua in un intervallo. Formula fondamentale del calcolo integrale. Definizione e proprietà degli integrali indefiniti. Integrali indefiniti immediati. Metodi di integrazione indefinita per decomposizione in somma, per parti, per sostituzione.